Modelos de problemas

Introducción

Ya debes haber visto muchas de las funciones que tienen las EDOs, ahora hablaremos sobre las aplicaciones de los sistemas de EDOs. Existen ciertos casos característicos, te enseñaremos cómo aplicar la ecuaciones en cada uno de ellos.

 

Esta vez la resolución no es el tema principal, sino el que aprendas a armar las ecuaciones correctamente para así poder resolver los problemas con éxito.

 

Los casos que veremos son: asociación de resortes, circuitos eléctricos y mezcla entre tanques.

 

Sistema de asociación de resortes

 

En un sistema tenemos dos resortes conectados y queremos descubrir la deformación de cada uno de ellos en función del tiempo. Tomando como referencia la imagen con los resortes \(A\) y \(B\), con las constantes \(k_{1}\) y \(k_{2}\) respectivamente, conectadas a los bloques de masa \(m_{1}\) y \(m_{2}\). Sea \(x_{1}(t)\) la ecuación de desplazamiento del bloque \(m_{1} A\) y \(x_{2}(t)\) la ecuación de desplazamiento del bloque \(m_{2}\).

 

Ahora tenemos que usar todos nuestros conocimientos en física para armar un sistema de EDO. Suponiendo que se trata de un sistema ideal, (es decir, no involucra una fuerza externa o la gravedad), en el bloque de masa \(m_{1}\) tendremos una fuerza elástica tanto del resorte \(A\) como del resorte \(B\), de forma que:

 

\[F_{e l A}=-k_{1} x_{1}, \quad F_{e l B}=k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\]

 

El signo negativo en la fuerza del resorte \(A\) es por una convención de signos. La deformación del resorte \(B\) vendrá dada por cuánto el bloque \(m_{2}\) descendió con respecto a cuánto el bloque \(m_{1}\) descendió. 

 

Sobre el bloque de masa \(m_{1}\) actúan solo dos fuerzas, entonces por la segunda ley de Newton tenemos que:

 

\[m_{1} a=F_{e l A}+F_{e l B}\]

 

Como \(a=\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}\)

 

\[m_{1} \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\]

 

Las ecuaciones están comenzando a aparecer. En el bloque de masa \(m_{2}\) solo tendremos la acción de la fuerza \(-F_{e l B}\), este signo negativo aparece porque la fuerza empujó al bloque \(m_{1}\) hacia abajo, mientras que el bloque \(m_{2}\) es levantado. De manera similar a lo que hicimos para el primer bloque, obtenemos la siguiente ecuación.

 

\[m_{2} \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\]

 

El sistema queda así

 

\[m_{1} x_{1}^{\prime \prime} \quad=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\]

 

\[m_{2} x_{2}^{\prime \prime} \quad=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\]

 

Ya vimos las ecuaciones para este caso.

 

Circuitos eléctricos

 

Esta es la parte más molesta porque hay mucha física, intentaré simplificar todo bastante para que tengas una idea de lo que tienes que hacer para resolver un problema de este tipo.

 

Para resolver estos problemas, básicamente necesitaremos de la primera y la segunda ley de Kirchhoff. Veamos su enunciado para luego pasar a un ejemplo.

 

Primera ley de Kirchhoff

 

Esta es la ley de corrientes, dice que la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. Esto significa que la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero.

 

Segunda ley de Kirchhoff

 

Esta es la ley de mallas (o tensiones), dice que la suma de las todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. Esta es más confusa, pero la idea es simple. Las resistencias, condensadores e inductores generan una variación potencial cuando una corriente fluye a través de ellos, esta ley dice que la DDP entre dos puntos es la suma de estas caídas.

 

Antes de aplicar estas leyes, existen ciertas cosas que debes memorizar sobre posibles pérdidas. A continuación se presentan las fórmulas de cómo se ve la caída de tensión cuando una corriente pasa a través de un inductor, resistencia o condensador:

 

\[L \frac{d i}{d t}, \quad R i, \quad \frac{1}{C} q\]

 

¿Notaste que es la misma fórmula del capacitor solo que en lugar de \(q\) en tenemos \(i\)? Esto se debe a que la fórmula del condensador está cargada, pero solo tenemos que recordar la siguiente relación entre carga y corriente.

 

\[i=\frac{d q}{d t}\]

 

Como tenemos las leyes, vamos a aplicarlas en el siguiente circuito.

En el nodo \(B_{1}\) tenemos corriente \(i_{1}\) entrando y corrientes \(i_{2}\) e \(i_{3}\) saliendo, entonces por la primera ley de Kirchhoff.

 

\[i_{1}=i_{2}+i_{3}\]

 

Ahora usemos la segunda ley. El potencial entre \(A_{1}\) y \(B_{2}\) viene dado por \(E\), donde \(E\) es una función de una fuerza electromotriz. Según la segunda ley de Kirchhoff, sabemos que esta \(E\) también es igual a la caída de tensión cuando analizamos la ruta \(A_{1} B_{1} B_{2}\) o la ruta \(A_{1} C_{1} C_{2}\). Entonces tenemos:

 

\[E=i_{1} R_{1}+L_{1} \frac{d i_{2}}{d t}+R_{2} i_{2}\]

 

\[E=i_{1} R_{1}+L_{2} \frac{d i_{3}}{d t}\]

 

Ahora podemos usar la ecuación que encontramos con la primera ley, para desaparecer \(i_{1}\) y así obtener las siguientes ecuaciones.

 

\[E=L_{1} \frac{d i_{2}}{d t}+\left(R_{1}+R_{2}\right) i_{2}+R_{1} i_{3}\]

 

\[E=L_{2} \frac{d i_{3}}{d t}+R_{1} i_{2}+R_{1} i_{3}\]

 

Tenemos el sistema EDO.

 

Mezcla entre tanques

 

La idea de los problemas de tanques es bastante simple. Supongamos que tenemos dos tanques que tienen una cierta cantidad de sal. Definamos las funciones de cantidad de sal en los tanques como \(x_{1}\) y \(x_{2}\). Utilicemos la imagen de referencia para mayor comprensión.

 

 

 

Vamos a designar la función \(x_{1}\) para el tanque \(A\) y \(x_{2}\) para el tanque \(B\). La clave de estos problemas es recordar que el cambio en la cantidad de sal, la derivada en función del tiempo, será igual a la tasa de sal que ingresa menos la que sale. Las tasas serán la concentración de sal por el flujo de líquido. Entonces tendremos:

 

\[\frac{d x_{1}}{d t}=\text {tasa de entrada }-\text {tasa de salida}\]

 

\[\frac{d x_{2}}{d t}=\text {tasa de entrada }-\text {tasa de salida}\]

 

Para que podamos resolver el problema, supongamos que los dos tanques tienen 20 litros de agua pura. Vamos a resolverlo.

 

En el tanque \(A\) tenemos agua pura y la mezcla en el tanque \(B\).El agua pura tiene una concentración de sal de 0 y el agua de la mezcla \(B\) tiene una concentración de \(\frac{x_{2}}{20}\), que es la cantidad de sal en este tanque dividida por su volumen. Tenemos en este mismo tanque una mezcla con una concentración de \(\frac{x_{1}}{20}\), que es la cantidad de sal de este tanque dividido por su volumen.

 

\[\frac{d x_{1}}{d t}=3 \frac{l}{\min } \times 0 \frac{g}{l}+1 \frac{l}{\min } \times \frac{x_{2}}{20} \frac{g}{l}-4 \frac{l}{\min } \times \frac{x_{1}}{20} \frac{g}{l}\]

 

\[\frac{d x_{1}}{d t}=\frac{x_{2}}{20}-\frac{x_{1}}{5}\]

 

En el tanque \(B\) tendremos la mezcla que salió del tanque \(A\) al \(B\). Al salir tendremos la misma mezcla que estaba entrando en \(A\) y ahora otra salida, con la misma concentración, que sale de los dos tanques como se muestra en la imagen.

 

\[\frac{d x_{2}}{d t}=4 \frac{l}{\min } \times \frac{x_{1}}{20} \frac{g}{l}-\left(3 \frac{l}{\min }+1 \frac{l}{\min }\right) \times \frac{x_{2}}{20} \frac{g}{l}\]

 

\[\frac{d x_{2}}{d t}=\frac{x_{1}}{5}-\frac{x_{2}}{5}\]

 

¿Muy simple, verdad?

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