Componentes vectoriales y vectores unitarios

Componentes de un vector

 

En física usamos vectores para representar magnitudes que necesitan de una dirección y un sentido, además de un número y una unidad de medida.

 

Esas magnitudes vectoriales pueden representarse en una misma línea pero diferente sentido, como representamos el movimiento sobre un mismo camino y una misma calle.

 

 

¡Pero no todo se mueve en una misma línea!

 

Hay movimientos que ocurren en un plano: las bolas de billar moviéndose en la mesa de juego; o nosotros desplazándonos en la ciudad.

 

Hay movimientos que ocurren en el espacio: los peces en el mar; o los aviones en el aire.

 

Para representar los diferentes espacios donde ocurren los movimientos, usamos dimensiones o sistemas de ejes:

 

 

Por lo tanto, un vector tiene 1 número, 2 números o 3 números; de acuerdo con el espacio que representa. 

 

Tú dirás: bárbaro, si a veces tengo problemas para hacer cuentas con 1 número; ¿cómo hago cuando tengo más?

 

Para operar, hay que seguir algunas reglas o convenciones. Cómo se escribe un vector y cómo se trabaja con los vectores, es lo que veremos ahora.

 

¿Qué representa un vector?

 

Una magnitud será unidimensional, bidimensional o tridimensional, si está escrita con una, dos o tres cantidades; ordenadas así:

 

\(\bullet\) \(\vec{v}=15 mts \space {o} \space \vec{u}=-20 mts\)

 

Cada vector con un solo valor representa un movimiento lineal, en la dirección del eje X usual (horizontal); al sentido lo indica el signo \(+\) o \(–\) (derecha o izquierda).

 

\(\bullet\) \(\vec{w}=(15; -10) mts\)

 

Cada vector con dos valores así ordenados, representa un movimiento en el plano: el primer valor 15 es en dirección X usual (horizontal) y el segundo valor -10 es en dirección Y usual (vertical); al sentido en cada eje lo indica el signo \(+\) o \(–\) (derecha o izquierda, arriba o abajo).

 

\(\bullet\) \(\vec{r}=(15; -10; 20) mts\)

 

Cada vector con tres valores así ordenados, representa un movimiento en el espacio: los dos primeros valores representan las direcciones X-Y, mientras que el tercero agregado es en dirección Z; al sentido nuevamente lo indica el signo + ó -.

 

Usualmente, aquí los ejes se ordenan: dirección X indica hacia atrás o delante, dirección Y indica derecha o izquierda, dirección Z indica arriba o abajo.

 

A cada uno de esos valores en cada dirección se le llama componente.

 

¿Por qué tiene tantos números un vector?

 

Cada número, cada componente que tiene un vector, representa un movimiento en alguna dirección.

 

Entonces, visto así, podemos entender que el movimiento lineal es movimiento horizontal. Luego, el plano es una combinación de movimiento horizontal y vertical.

 

Generalmente:

 

\[\text {Eje X} \Rightarrow \text {Movimiento Horizontal}\]

 

\[\text {Eje Y} \Rightarrow {Movimiento Vertical}\]

 

Lo que dijimos recién es una convención, es como se usa generalmente. 

 

Peeeeero… puede pasar que en algún ejercicio te pidan plantear algo diferente como que el valor vertical sea positivo hacia abajo. ¡Hacelo!

 

Normalmente en física las ecuaciones no cambian si tomamos otro sentido. Hay que trabajar con cuidado para no confundir ningún signo, pero nada más.

 

¡Vamos a lo divertido!

 

Veamos el siguiente ejemplo y trabajemos un poquito con vectores.

 

 

Lo que tenemos representado allí es un vector \(\vec{v}\). Si vemos en detalle; representa un movimiento compuesto:

 

\[\text {4 unidades en dirección HORIZONTAL}\space{(eje \space X \space usual),sentido \space positivo}\]

 

\[\text {3 unidades en dirección VERTICAL} {(eje \space Y \space usual), sentido \space positivo}\]

 

¿Cómo escribimos ese vector?

 

Como estamos trabajando en el plano cartesiano, plano X-Y; usaremos 2 números para representarlo... Por ahora, veremos dos formas de escribirlo: coordenadas cartesianas y versores. 

 

Coordenadas cartesianas: El vector se escribe con las dos componentes entre paréntesis, separados por punto y coma: la primera componente representa la dirección X; la segunda, la Y.

 

Entonces el vector dibujado es:

 

\[\vec{v}=(4;3)\]

 

Versores: Cuando usamos versores, la escritura es muy similar solo que se multiplica cada componente por una letra con un símbolo especial: la letra nos indica la dirección que representa la componente. Ahora las componentes van sumadas.

 

Por convención, se usa:

 

\[\hat{i}\space \text{para la dirección HORIZONTAL (eje X)}\]

 

\[\hat{j}\space \text{para la dirección VERTICAL (eje Y)}\]

 

Por lo tanto, el vector dibujado quedará:

 

\[\vec{v}=4\hat{i}+3\hat{j}\]

 

A los símbolos \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\) se los llama versores.

 

¡Ambas formas de escritura son válidas!

 

El vector representado en los 2 casos es el mismo.

 

Vector en 3 dimensiones

 

Ya te habías olvidado que para representar el espacio usamos un eje más: eje \(Z\).

 

¿Cómo hacemos para representar la famosa 3era dimensión?

 

Sólo debemos agregar un número más a estas formas de escritura.

 

Cuando trabajamos en Coordenadas Cartesianas, se agrega un valor más con las mismas reglas; y representará la dirección \(Z\).

 

Si trabajamos con Versores, existe un versor para marcar esta dirección: \(\hat{k}\).

 

Por lo tanto, un vector en 3D podría ser:

 

Coordenadas Cartesianas: \(\vec{v}=(4;3,5)\)

 

Versores: \(\vec{v}=4\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}\)

 

¡Visto así no es tan difícil! Solo debemos acostumbrarnos a trabajar con estos elementos.

 

Componentes de un vector

 

Las componentes del vector son los valores que toma en cada dirección. Si tomamos como ejemplo el vector anterior:

 

\[\vec{v}=(4;3,5) =4\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}\]

 

Posee componente en \(X\) igual a 4, componente en \(Y\) igual a 3 y componente en \(Z\) igual a 5.

 

Esto mismo se puede escribir con subíndices, indicando la dirección así:

 

\[4=v_{x}\]

 

\[3=v_{y}\]

 

\[5=v_{z}\]

 

En forma general; un vector está armado por sus componentes en cada dirección usada:

 

\[\vec{v}=v_x \hat{i}+v_y \hat{j}+v_z \hat{k}\]

 

Como verás, ¡las escrituras empiezan a enroscarse! Empiezan a aparecer muchos símbolos y convenciones. Pero tranquilo, como te dije antes, solo es cuestión de acostumbrarse.

 

Características de un vector: Módulo e Inclinación.

 

Módulo

 

Como vimos, los vectores representan una magnitud que tiene un valor numérico con dirección y sentido. 

 

¿Cómo consigo esa información del vector?

 

¡Trabajando con el vector mismo!

 

El valor numérico que representa el vector es el largo del vector mismo: si más largo es, más unidades representa; más corto, menos.

 

La longitud del vector se calcula con el módulo: 

 

\[\text {módulo}(\vec{v})=|\vec{v}|=||\vec{v}||\]

 

Y la cuenta que debes hacer es sobre \(\vec{v}=v_x \hat{i}+v_y \hat{j}\):

 

\[|\vec{v}|^{2}=|v_x|^{2}+|v_y|^{2}\]

 

En palabras: el módulo de \(\vec{v}\) al cuadrado, es la suma de sus componentes \(v_x\) y \(v_y\) al cuadrado. ¡Algo así como el Teorema de Pitágoras!

 

Y como sospecharás: las barritas son las mismas que las barritas de valor absoluto.

 

¡Parece que todo está relacionado por aquí!

 

Cuentas:

 

Si agarramos el vector que usamos antes: \(\vec{v}=(4; 3)=4\hat{i}+3\hat{j}\):

 

El módulo es: 

 

\[|\vec{v}|^{2}={v_x}^{2}+{v_y}^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25\]

 

\[|\vec{v}|^{2}=25\]

Entonces:

 

\[|\vec{v}|=\sqrt{25}=5\]

 

Resultado: la longitud del vector es 5. ¿Qué tal? ☺

 

Inclinación

 

Una vez que conseguimos el valor numérico del vector, nos preguntamos: ¿¿cómo consigo la dirección??

 

¡La dirección surge de analizar hacia dónde apunta! Y como un vector puede estar inclinado, esa inclinación puede medirse con un ángulo.

 

Normalmente, la inclinación se mide como el ángulo del vector con el Eje X positivo.

 

O sea que tendríamos que medir éste ángulo \(\alpha\):

 

 

Tu dirás: Todo muy lindo, pero: 

 

¿Cómo hago para calcular ese ángulo cuando no lo tengo?

 

Tenemos que usar las razones trigonométricas. Esto es: Seno, Coseno y Tangente.

 

Estas funciones me relacionan las medidas de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, usando alguno de sus ángulos.

 

¡Fijate que el vector arma un triángulo rectángulo!

 

La Hipotenusa es el largo del vector, sus componentes son los catetos y el ángulo es la inclinación que buscamos.

 

\[|\vec{v}|=Hipotenusa=H\]

 

\[\text V_{x}={Cateto \space Adyacente}={CA}\]

 

\[\text V_{y}={Cateto \space Opuesto}={CO}\]

 

Repasamos las razones trigonométricas:

 

\[\cos(\alpha)=\frac{CA}{H}\]

 

\[\sin(\alpha)=\frac{CO}{H}\]

 

\[\tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}\]

 

Y podemos usar la tangente para calcular la inclinación, así:

 

\[\tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}=\frac{V_{y}}{V_{x}}\]

 

De aquí podemos calcular el ángulo, despejando:

 

\[\alpha=\tan^{-1}(\frac{V_{y}}{V_{x}})\]

 

Luego de tantas fórmulas y cosas raras…

 

Cuentas:

 

Calculemos la inclinación del vector anterior, que tiene módulo \(|\vec{v}|=5\): 

 

\[\vec{v}=(4; 3)=4\hat{i}+3\hat{j}\]

 

Entonces:

 

\[|\vec{v}|=5=Hipotenusa\]

 

\[V_{x}=4=Cateto \space Adyacente\]

 

\[V_{y}=3=Cateto \space Opuesto\]

 

Calculemos:

 

\[\tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}=\frac{3}{4}=0,75\]

 

\[\alpha=\tan^{-1}(0,75)=36,869=36^{\circ} {52’ 11,6’\space’}\]

 

El vector \(\vec{v}=(4; 3)=(4\hat{i}+3\hat{j})\), tiene

 

Módulo \(|\vec{v}|=5\)

 

Inclinación \(\alpha=36,869=36^{\circ} 52’ 11,6’\space’\)

 

Como verás, la teoría es larga, ¡pero las cuentas son sencillas!

 

Descomponiendo un vector: Calcular sus componentes.

 

Ya vimos como calcular la longitud y la inclinación de un vector a partir de sus componentes; ¡ahora hagamos al revés!

 

Vamos a partir desde un vector que mide 10 unidades de largo y tiene una inclinación de \(60^{\circ}\) con el eje \(X\) positivo:

 

Módulo \(|\vec{v}|=10\)

 

Inclinación \(\alpha=60^{\circ}\)

 

 

Para sacar las componentes \(v_{x}\) y \(v_{y}\) del vector \(\vec{v}=v_{x} \hat{i}+v_{y} \hat{j}=(v_{x}; v_{y})\), usaremos nuevamente las razones trigonométricas.

 

Si vemos las definiciones, podemos aplicar Seno y Coseno para calcular el Cateto Opuesto (componente \(v_{y}\)) y el Cateto Adyacente (componente \(v_{x}\)), relacionado con el ángulo (inclinación \(\alpha=60^{\circ}\)) y la hipotenusa (módulo \(|\vec{v}|=10\)).

 

\[\sin(\alpha)=\frac{CO}{H} \Rightarrow \sin(60^{\circ})=\frac{v_{y}}{10}\]

 

\[\cos(\alpha)=\frac{CA}{H} \Rightarrow \cos(60^{\circ})=\frac{v_{x}}{10}\]

 

Despejamos, pasamos multiplicando \(H=10\):

 

\[v_{y}=\sin(60^{\circ}) \cdot 10 = 0,5 \cdot 10 = 5\]

 

\[v_{x}=\cos(60^{\circ}) \cdot 10 = 0,866 \cdot 10 = 8,66\]

 

Y entonces:

 

Componente Horizontal: \(v_{x}=5\)

 

Componente Vertical: \(v_{y}=8,66\)

 

¡ATENCIÓN! ¡IMPORTANTE!

 

     \(1.\) El ángulo que te dan no siempre se calcula respecto al Eje \(X\) positivo… ¡Y eso no está mal! Hay que analizar el problema con cuidado, para sacar bien cuál es el Cateto Opuesto y cuál el Adyacente en el triángulo rectángulo.

     \(2.\) ¿Cómo hago para recordar cuando usar Seno, Coseno o Tangente?

 

Existe una regla mnemotécnica sencilla: SOHCAHTOA.

Con esa palabra extraña podemos armar las razones trigonométricas así:

 

Seno es Opuesto dividido Hipotenusa

 

Coseno es Adyacente dividido Hipotenusa

 

Tangente es Opuesto dividido Adyacente.

 

Las letras de esa palabra son las iniciales de lo que relaciona.

 

Multiplicación por un escalar

 

¡Sigamos aprendiendo a operar con vectores! ¡Primero veamos qué significa Multiplicar por un escalar! 

 

Cuando multiplicamos un vector por una constante, debemos multiplicar a sus componentes: es como aplicar la propiedad distributiva.

 

Agarremos el vector \(\vec{v_1}=(4; 3)=4\hat{i}+3\hat{j}\), si lo multiplicamos por 7:

 

\[7 \cdot \vec{v_1}=7 \cdot(4; 3)=7 \cdot (4 \hat{i}+3 \hat{j})=\]

 

\[=(7.4; 7.3)=7.4 \hat{i}+7.3 \hat{j}=\]

 

\[=(28; 21)=28 \hat{i}+21 \hat{j}\]

 

Fijate que hemos aumentado en 7 veces el tamaño del vector \(\vec{v_1}\), sin cambiar su dirección y sentido.

 

Suma y resta de vectores

 

¡Sigamos aprendiendo a operar con vectores! En este caso vamos a sumar y a restar vectores. Más adelante lo aplicaremos en varios casos.

 

Para calcular esto, tomemos como partida 2 vectores con las que ya trabajamos:

 

\[\vec{v_1}=(4; 3)=4 \hat{i}+3\hat{j}\]

 

\[\vec{v_2}=(5; 8,66)=5 \hat{i}+8,66\hat{j}\]

 

Las operaciones son muy sencillas: Si queremos SUMAR, debemos hacerlo componente a componente:

 

\[\vec{v_1}+\vec{v_2}=\]

 

\[=4 \hat{i}+3\hat{j}+5 \hat{i}+8,66\hat{j}=\]

 

\[=(4+5) \hat{i}+(3+8,66) \hat{j}=\]

 

\[=9 \hat{i}+ 11,66 \hat{j}\]

 

Si queremos RESTAR; también lo hacemos componente a componente:

 

\[\vec{v_1}-\vec{v_2}=\]

 

\[=4 \hat{i}+3\hat{j}-(5 \hat{i}+8,66\hat{j}=)\]

 

\[=(4-5) \hat{i}+ (3-8,66) \hat{j}=\]

 

\[=-1 \hat{i}+ (-5,66) \hat{j}=\]

 

\[=-1\hat{i}-5,66\hat{j}\]

 

En ejemplos anteriores trabajé con la notación cartesiana como con versores; en estas últimas operaciones sólo use la notación con versores… la cuenta y el resultado es igual: no cambia si usamos una u otra notación.

 

¡Ya hemos aprendido mucho sobre vectores!

 

Podemos atacar todos problemas que vengan sin inconvenientes.