Producto Escalar

¿De qué hablamos cuando hablamos de Producto Escalar?

Ya sabemos qué es un vector, cómo escribirlo y cómo sumarlos y restarlos. Vamos a conocer otra operación que podemos hacer con los vectores: ¡el Producto!

El Producto Escalar es una multiplicación entre vectores.  

Y la gran pregunta es: ¿Por qué es Escalar y no Producto sólo?

Se llama Escalar porque el resultado de la multiplicación es un Escalar: o sea, es sólo un número.

Para calcular el Producto Escalar entre dos vectores debemos multiplicar las coordenadas del vector y sumarlas. ¡Tan sencillo como eso!

Formalmente, en 3D es:

\[\vec{v} \cdot \vec{u} = v_1 \cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 + v_3 \cdot u_3\]

Dónde cada vector es:

\[\vec{v}= (v_1; v_2; v_3)\]

\[\vec{u}= (u_1; u_2; u_3)\]

O también:

\[\vec{v}= v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j} + v_3 \hat{k}\]

\[\vec{u}= u_1 \hat{i} + u_2 \hat{j} + u_3 \hat{k}\]

¿Qué pasa si tenemos un vector en 2D? 

Es igual, pero con menos números. 

Simplemente operamos con las primeras componentes y las sumamos.

Lo curioso es que este Producto tiene otra forma de escribirse:

\[\vec{v} \cdot \vec{u} = v_1 \cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 + v_3 \cdot u_3\]

\[\vec{v} \cdot \vec{u} = |\vec{v}|\cdot|\vec{u}|\cdot \cos (\alpha)\]

WHAT!?!? ¿¡MAS FORMULAS PARA LO MISMO!?!?

¡Sí! Más fórmulas que nos ayudan a calcular cosas buenas.

Podemos usar la segunda igualdad para calcular el ángulo entre los vectores:

\(\alpha \text { es el ángulo entre las direcciones de } \vec{v} \text{ y } \vec{u}\)

¡Apliquemos lo que vimos! Y hagamos unas conclusiones.

Cuentas:

Tomemos los vectores:

\[\vec{v}=(4; 3)\]

\[\vec{u}=(1; 3)\]

El Producto Escalar entre ellos es:

\[\vec{v} \cdot \vec{u} = (4; 3) \cdot (1; 3) = 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13\]

\[(4; 3) \cdot (1; 3) = 13\]

Usando la otra igualdad, podemos calcular el ángulo entre ellos, así:

\[\vec{v} \cdot \vec{u} = |\vec{v}|\cdot|\vec{u}| \cdot \cos (\alpha)\]

\[(4; 3) \cdot (1; 3) = 13 = |(4; 3)| \cdot |(1; 3)| \cdot \cos (\alpha)\]

Como:

\[|\vec{v}| = |(4; 3)| = \sqrt(4^2+3^2) = \sqrt(25) = 5\]

\[|\vec{u}| = |(1; 3)| = \sqrt(1^2+3^2) = \sqrt(10) = 3,16\]

Resolvemos:

\[13 = |(4; 3)| \cdot |(1; 3)| \cdot \cos (\alpha) = 5 \cdot 3,16 \cdot \cos (\alpha) = 15,81 \cdot \cos (\alpha)\]

Despejando:

\[\cos (\alpha) = \frac{13}{15,81} = 0,82\]

\[\Rightarrow \alpha = \cos^{-1} (0,82) = 34,68 = 34^{\circ} 41’ 16,38’\space’\]

Resultado:

\[(4; 3) \cdot (1; 3) = 13\]

\[\alpha = 34,68 = 34^{\circ} 41’ 16,38’\space’\]

DATAZO: 

El Producto Escalar también se llama Producto Punto: y eso es por cómo se escribe: 

\[\vec{v} \cdot \vec{u}\]

Producto Escalar o Punto entre \(\vec{v}\) y \(\vec{u}\)

¿Qué significa el Producto Escalar?

El número que obtienes como resultado, es una medida de la proyección de un vector sobre el otro. Esto es raro, pero podemos analizar cosas buenas.

Si la proyección es 0 (cero), quiere decir que no hay proyección de uno sobre otro… Entonces, el ángulo entre los vectores es \(90^{\circ}\).

Siguiendo ese análisis, se puede ver que: 

\[\text {Si } \alpha<90^{\circ} \Rightarrow \vec{v} \cdot \vec{u}>0\]

\[\text {Si } \alpha=90^{\circ} \Rightarrow \vec{v} \cdot \vec{u}=0\]

\[\text {Si } \alpha>90^{\circ} \Rightarrow \vec{v} \cdot \vec{u}<0\]

¿Hay otros Productos que no sean Escalares?

La respuesta es: sí.

Otra multiplicación entre vectores es el Producto Vectorial, y como su palabra lo indica: el resultado de esa operación es un vector… Pero tranquilo, más adelante seguiremos con esto.

Luego de todo lo que vimos, algo te puedo asegurar:

¡YA NO HAY VECTOR QUE TE GANE!