Movimiento Circular Uniforme

El Movimiento Circular Uniforme, como su nombre lo indica, tiene una trayectoria circular con un radio de giro $R$ que es constante.

En ese MCU; el móvil tiene una velocidad tangencial $v_T$ que es constante en módulo; pero la dirección va cambiando punto a punto.

$C:\Users\jlaborde\Desktop\Calculisto\Cinemática Angular\1. Movimiento Circular Uniforme\Piedra Girando 02.png$

Quien cambia esa dirección es la aceleración centrípeta $a_C$, que es radial y apunta al centro de giro.

Todos estos elementos están relacionados:

$a_C=\frac{{v_T}^2}{R}$

Hasta aquí todo clarísimo, ¿Y?

En el Movimiento Circular, el móvil está dando vueltas alrededor del centro de giro; entonces barre un ángulo $\theta$ con el paso del tiempo… ¡que es lo característico de este tipo de movimiento!

Y con esto aparecen nuevas magnitudes. ¡Vamos!

Desplazamiento angular:

El ángulo que barre el móvil en ese Movimiento Circular, es el desplazamiento angular. Ese ángulo recorrido, barrido; es el ángulo que queda determinado entre 2 posiciones.

En el momento (1), el móvil recorrió un ángulo $\theta_1$ respecto a un eje de referencia como el Eje X positivo; en el momento (2), el móvil llegó a un ángulo $\theta_2$.

Entre esos 2 momentos; el ángulo que se cubrió es:

$\theta=\Delta \theta=\theta_2 - \theta_1$

En un tiempo que es:

$t = \Delta t = t_2-t_1$

Veamos el gráfico.

Si la piedra anterior da toda la vuelta; entonces el ángulo barrido será: $\theta=2.\pi rad$. En esa situación, la distancia que recorre es $S=2.\pi.R$. Y uniendo estas dos ecuaciones:

$S=2.\pi \cdot R=\theta\cdot R$

Por lo tanto, en todo movimiento circular: la trayectoria recorrida en la curva, está relacionada con el ángulo barrido con la ecuación:

$S=R \cdot \theta$

Velocidad angular

Qué tan aprisa se barre un cierto ángulo en el Movimiento Circular, es lo que se determina con la Velocidad Angular. Si un objeto hace un gran Desplazamiento Angular en poco tiempo o en mucho tiempo, depende si su Velocidad Angular es grande o chica.

Conceptualmente, es similar a la velocidad lineal pero trabajamos con ángulos:

$\omega_m=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$

Esa velocidad angular así definida, es una velocidad promedio de los instantes elegidos: el cociente del Desplazamiento Angular realizado y el tiempo en que ocurre.

De la definición, se puede obtener una ecuación horaria para el ángulo como función del tiempo de giro. Tomando $t_i=0 s$; para el MCU:

$\omega_m \cdot \Delta t = \Delta \theta$

$\omega_m \cdot (t_f-t_i)= \theta - \theta_i$

$\Rightarrow \theta = \theta_i + \omega . t$

Y vemos que su forma es similar a la ecuación horaria de posición en MRU. Si retomamos la definición de velocidad tangencial $v_T$, podemos encontrar una relación muy útil e interesante:

$v_T=\frac{distancia}{tiempo}$

$v_T=\frac{S}{\Delta t}=\frac{R\cdot\theta}{\Delta t}=R \frac{\theta}{\Delta t}$

$\Rightarrow v_T=R \cdot \omega$

O sea que, en el movimiento circular:

$v_T=R\cdot\omega$

Y reemplazando en la definición de aceleración centrípeta:

$a_C=\frac{{v_T}^2}{R}=\omega^2.R$

Período:

El período es el tiempo $T$ que tarda el móvil en completar una vuelta en el Movimiento Circular: el tiempo que transcurre en un giro completo.

Cuando se hace un giro completo, el ángulo barrido es: $\theta=2.\pi rad$; la distancia recorrida es: $S=2.\pi.R$.

En el MCU, tanto la velocidad angular $\omega$ como el módulo de la velocidad tangencial $v_T$ son constantes; entonces:

$\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{2.\pi rad}{T}$

$\Rightarrow T=\frac{2.\pi}{\omega}$

Y podemos ver otra relación:

$|\vec{v_T}|=v_T=\Delta{distancia/}{tiempo}=\frac{S}{T}$

$\Rightarrow v_T=\frac{2.\pi.R}{T}$

Reemplazando estas igualdades en la definición de aceleración centrípeta $a_C$:

$a_C=\frac{{v_T}^2}{R}=\frac{4.\pi^2.R}{T^2}$

Frecuencia:

La frecuencia es el número de vueltas completadas en un intervalo de tiempo.

¿De qué estamos hablando?

Veamos un ejemplo sencillo:

La velocidad angular nos dice cuanto ángulo se hace por unidad de tiempo. Entonces, una velocidad angular $\omega=\frac{\pi rad}{s}$; quiere decir que se barre un ángulo $\theta=\pi rad$ en cada segundo… o sea, media vuelta en cada segundo. ¡Eso es una medida de frecuencia!

La velocidad angular se llama también frecuencia angular; porque nos dice cuánto ángulo se hace por unidad de tiempo.

Si dividimos la frecuencia angular por $2.\pi$ obtenemos la frecuencia $f$:

$f=\frac{\omega}{2.\pi}$

Esa frecuencia $f$ nos dice cuántas vueltas se hace por unidad de tiempo. Por definición:

$f=\frac{n^{\circ}\text{ vueltas}}{tiempo}$

Y otra relación importante, la frecuencia $f$ es la inversa del período $T$:

$f=\frac{1}{T}$

Entonces; encontramos que la velocidad tangencial $v_T$:

$v_T=2\pi.R.f$

Con esto definimos todo lo importante del Movimiento Circular. Algunas relaciones sirven tanto para Uniforme como Acelerado.

Resumen: MCU = Movimiento Circular Uniforme.

El ángulo barrido entre 2 instantes: $\Delta \theta = \theta_2-\theta_1$.
El tiempo entre 2 instantes: $\Delta t = t_2-t_1$.
Velocidad angular media: $\omega_m = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$.
Ecuación horaria de MCU: $\theta = \theta_i+\omega_i . t$.
Relación con Velocidad Tangencial: $v_T = R.\omega$.
Tiempo de 1 ciclo-1 vuelta: Período $T$.
Frecuencia: $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{T}$.
Aceleración Centrípeta: $a_C = \frac{{v_T}^2}{R} = \omega^2.R$.
Y también: $a_C = \frac{4.\pi^2.R}{T^2} = \frac{4.\pi^2.R.f^2}$.

Luego del resumen: ¡Pasemos a los ejercicios de aplicación para aprender aún más!

¡A practicar!

Hay un error?

Todos los Resúmenes

Movimiento Circular Uniforme