Velocidad Media y Aceleración Media en el Movimiento Circular

Velocidad Media y Aceleración Media en el Movimiento Circular.

La velocidad y la aceleración son magnitudes que ya reconocemos cuando estudiamos algún movimiento; pero cómo las calculamos, nos hace conocer una característica u otra: No es lo mismo calcular la velocidad o aceleración media que la instantánea. Esto ya lo analizamos en el movimiento en 3D… Ahora nos toca sobre el movimiento circular.

Velocidad Media

La definición de velocidad también es válida en el movimiento circular:

\(\vec{v_m}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{t_2-t_1}\)

Aquí estamos calculando la velocidad del móvil (entendiendo por móvil a cualquier cosa que se mueve… ☺) entre los tiempos \(t_1\) y \(t_2\); y será un promedio de lo ocurrido en ese intervalo.

¿Pero cómo se aplica esto al movimiento circular?

Aquí empieza lo interesante:

Para trabajar con la velocidad en el movimiento circular, debemos ser capaces de representar las posiciones del móvil como vectores: \(\vec{r_1}\) y \(\vec{r_2}\). Como estamos trabajando sobre un círculo, tenés que usar razones trigonométricas para escribir los vectores. O sino también, usar el Teorema de Pitágoras para calcular la diferencia \(\Delta \vec{r}\).

Veamos esto: El siguiente esquema muestra la posición de un móvil en un movimiento circular para los tiempos \(t_1\) y \(t_2).

La información que tenemos en el movimiento circular de radio \(R\) es:

• Ángulo \(\theta_1\) en el tiempo \(t_1\).
• Ángulo \(\theta_2\) en el tiempo \(t_2\).

Entonces; cada vector posición será:

• \(\vec{r_1}=(R.\cos\theta_1; R.\sin\theta_1)=R.(\cos\theta_1; \sin\theta_1) \)
• \(\vec{r_2}=(R.\cos\theta_2; R.\sin\theta_2)=R.(\cos\theta_2; \sin\theta_2) \)

Una vez armado cada vector, calculamos la velocidad media:

\(\vec{v_m}=\frac{R}{t_2-t_1}(\cos\theta_2-\cos\theta_1;\sin\theta_2-\sin\theta_1)\)

También podés calcular esto mediante el Teorema de Pitágoras:

Reescribiendo el vector \(\Delta\vec{r}\):

\(\Delta\vec{r}=\\vec{r_2}-\vec{r_1}=(x_2; y_2)-(x_1;y_1)=(x_2-x_1; y_2-y_1)\)

Su módulo:

\(|\Delta \vec{r}|=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

La magnitud del vector velocidad media lo calcularás con la definición:

\(|\vec{v_m}|=\frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t}\).

Mientras que su inclinación será:

\(\alpha=\tan^{-1}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan^{-1}\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

Hasta aquí no hicimos mucha física, solamente trabajamos con vectores… Entonces analicemos algo que resulta interesante.

¡Agreguemos algo más!

Vemos del gráfico que el cambio de posición está dado por \(\Delta \vec{r}\) que correctamente graficamos. Sin embargo, la trayectoria del móvil en el movimiento circular ocurre por la curva \(S\).

La magnitud que nos muestra de qué manera el móvil recorre ese “camino” es la rapidez: \(v=\frac{Distancia}{Tiempo}\).

En el movimiento circular, la rapidez es:

\(v=\frac{Distancia}{Tiempo}=\frac{S}{\Delta t}\)

Y la cuestión en este momento es:

¿Cuándo uso velocidad y cuando rapidez?

• En primer lugar, depende del problema: si nos piden velocidad, haremos el trabajo vectorial; si nos piden rapidez, veremos la longitud de la trayectoria recorrida.

• En segundo lugar, debemos saber qué queremos analizar. Las dos son importantes, pero cada una de ellas nos brinda diferente información. La velocidad nos muestra información vectorial sobre dirección, sentido y posiciones iniciales y finales. Mientras que la rapidez nos dice qué tan rápido o lento fue el movimiento.

Si te interesa profundizar estos últimos conceptos, podes ver las guías de “Cinemática Rectilínea”.

Aceleración media

Por definición, la aceleración es el cambio de velocidad en el tiempo. Por el carácter vectorial de la velocidad, ese cambio puede ser tanto en la magnitud como en la dirección.

En el movimiento circular, el cambio en la dirección de la velocidad lo determina la aceleración centrípeta. Su magnitud depende de la magnitud de la velocidad y del radio de giro:

\(|a_C|=\frac{|\vec{v_T}|^2}{R}=\omega^2.R\)

Vemos que la dependencia es punto a punto: cualquier cambio instantáneo de las velocidades provoca un cambio en la aceleración centrípeta.

Nos queda ver cómo ocurre el cambio de magnitud de la velocidad; o sea, un MCA. La definición de la aceleración es:

\(\vec{a_m}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}\).

Y esta aceleración media tendrá sentido cuando tengamos un cambio de rapidez: \(v=\frac{S}{\Delta t}\); porque el cambio de la dirección es una aceleración instantánea.

Haciendo un análisis vectorial, el vector aceleración media es una suma vectorial de la aceleración sobre el cambio de módulo de \(\vec{v}\) y sobre el cambio de dirección de \(\vec{v}\):

\(\vec{a_m}=\vec{a_{\Delta|\vec{v}|}}+\vec{a_{\Delta \theta}}\)

La aceleración \(\vec{a_{\Delta \theta}}\) es la aceleración centrípeta, con dirección radial hacia el centro: \(\bf{a_C}\).

Mientras que la aceleración \(\vec{a_{\Delta|\vec{v}|}}\) es el cambio de la rapidez, o sea la aceleración tangencial \(\bf{a_T}\).

\(\vec{a_m}=\vec{a_T}+\vec{a_C}\)

¡No demos más vueltas y hagamos algún ejercicio para practicar!

Importante: Todo lo calculado hasta recién se hizo en Coordenadas Cartesianas. Hay diferentes formas de escribir vectores: Coordenadas Polares, Esféricas, Cilíndricas… Pero cómo escribir es para otro curso de Análisis Matemático; escapa al alcance de estas guías. ☺