Velocidad Angular y Aceleración Angular Instantánea

Velocidad Angular y Aceleración Angular Instantánea.

Ya conocemos y trabajamos con otras magnitudes instantáneas, pero en el análisis del movimiento lineal. Revisaremos estas definiciones para el movimiento circular.

La velocidad angular media es la relación entre el ángulo barrido en un movimiento circular y el tiempo en que ocurre:

\(\omega_m=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{\theta_2-\theta_1}{t_2-t_1}\)

Cuando los tiempos \(t_1\) y \(t_2\) están muy muy cerca, estamos hablando de un instante; y la diferencia es: \(\Delta t=d t\).

La velocidad angular media, pasa a ser velocidad angular instantánea:

\(\omega=\frac{d\theta}{dt}\)

De manera similar, se define la aceleración angular media:

\(\alpha_m=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=\frac{\omega_2-\omega_1}{t_2-t_1}\)

Y tomando la diferencia de tiempos tan chica que se considera un instante, tenemos la aceleración angular instantánea:

\(\alpha=\frac{d\omega}{dt}\)

Sabemos de Análisis Matemático, que esa definición tiene asociada una derivada temporal. Entonces, para conocer la velocidad angular instantánea y la aceleración angular instantánea, necesitamos una fórmula del ángulo barrido como función del tiempo, y derivamos.

¡Paremos un poco! O sea, no solo tengo la cabeza dando vueltas con el movimiento circular, ¿sino que también vamos a meterle Análisis Matemático?? 

¡Y si! Alguien con tu sabiduría que ya llegó hasta aquí puede resolver algunas cuentas sencillas. 

Una vez que contamos con \(\theta(t)\), calculamos:

\(\omega=\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\theta’(t)\)

\(\alpha=\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\omega’(t)=\theta’’(t)\)

Es interesante ver que, a partir de \(\omega(t)\) y de \(\alpha(t)\), tenemos una ecuación temporal para calcular la velocidad tangencial \(v_T\) y la aceleración tangencial \(a_T\) para cualquier tiempo:

\(v_T=\omega\cdot R \Rightarrow v_T(t)=\omega(t)\cdot R\)

\(a_T=\alpha\cdot R \Rightarrow a_T(t)=\alpha(t)\cdot R\)

Siguiente con el Análisis Matemático, tenemos otras propiedades que podemos aplicar a la física del movimiento. Si haciendo la derivada de \(\theta(t)\) vamos consiguiendo las funciones \(\omega(t)\) y \(\alpha(t)\); por propiedades inversas, haciendo la integral de \(\alpha(t)\), podemos encontrar \(\omega(t)\) y \(\theta(t)\).

¿Y cómo funciona eso?

Si tenemos la ecuación horaria para la aceleración angular \(\alpha(t)\); podemos encontrar la velocidad angular así:

\(\omega(t)=\int \alpha(t).dt + \mathbb{C}\)

Y una vez que tenemos la velocidad angular \(\omega(t)\), encontramos el ángulo barrido dependiente del tiempo:

\(\theta(t)=\int \omega(t).dt+ \mathbb{C}\)

Las constantes \(\mathbb{C}\) que aparecen en la fórmula son del resultado de la integración. Para poder conocer su valor, necesitamos algún dato adicional como una condición inicial: \(\omega(t= 0)=0\) o \(\theta(t=0)=0\), y reemplazar en la ecuación.

¡Impecable! 

Con todo lo aprendido, solo nos queda resolver algunos ejercicios para aceitar todas las partes.