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Calculisto

Cambio de variables

¡Bienvenidos, espero que estén bien!

 

Tengo un reto, me gustaría que resolvieran la siguiente ecuación; puedo decir que sería bastante difícil de resolver si lo hiciéramos de la manera en que estamos acostumbrados. Observa:

 

\[\iiint_{W} e^{x+y+z} d V\]

 

Siendo \(W\) la región limitada por los planos \(x=-1, x=1, y+z=-1, y+z=1,-y+z=-1, -y+z=1\).

 

Te puedo adelantar que vamos a utilizar: el cambio de variable. Es una técnica que usamos cuando una expresión se repite mucho en el integrando o en el dominio de integración. 

 

¿Ves que los términos \(y+z,-y+z\) y \(x\) se repiten muchas veces en la expresión de la región \(W\)? Entonces, haremos

 

\[u=y+z\]

 

\[v=-y+z\]

 

\[s=x\]

 

Lo que acabamos de hacer es proponer el cambio de variable en términos de \(u, v, s\).

 

¿Cuál es el próximo paso?  Debemos calcular el Jacobiano, que es este:

 

\[J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, s)}=\left|\begin{array}{lll}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial s} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial s} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial s}\end{array}\right|\]

 

Recuerda, siempre que hagamos un cambio de variable, debemos calcular el jacobiano, no lo olvides. 

 

Pero, no tenemos \(x\), \(y\), \(z\) en función de \(u\), \(v\), \(s\). Tenemos exactamente lo contrario. ¿Qué hacemos? Simple, vamos a “invertir” esas derivadas. Es decir, escribir cada derivada parcial cambiando el que está arriba por el que está abajo. Observa el resultado y compara con el anterior:

 

\[J^{\star}=\frac{\partial(u, v, s)}{\partial(x, y, z)}=\left|\begin{array}{lll}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial s}{\partial x} & \frac{\partial s}{\partial y} & \frac{\partial s}{\partial z}\end{array}\right|\]

 

En este caso tendremos:

 

\[J^{\star}=\left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right|=2\]

 

Lo que haremos es utilizar esta fórmula:

 

\[J=\frac{1}{J^{\star}}\]

 

O sea, en este caso:

\[J=\frac{1}{2}\]

 

Cabe resaltar que el Jacobiano siempre debe ser distinto de cero. En caso de dar cero, debes cambiar la sustitución.

 

Ahora, debemos cambiar los límites de la región:

 

\[x=-1 \rightarrow s=-1\]

 

\[x=1 \rightarrow s=1\]

 

\[y+z=-1 \rightarrow u=-1\]

 

\[y+z=1 \rightarrow u=1\]

 

\[-y+z=-1 \rightarrow v=-1\]

 

\[-y+z=1 \rightarrow v=1\]

 

Esto define una nueva región \(R\), en el espacio \(uvs\).

 

¡Ya podemos armar la integral en las nuevas variables \(u\), \(v\) ,\(s\)!

 

\[\iiint_{W} e^{x+y+z} d V=\iiint_{R} e^{u+s}\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, s)}\right| d u d v d s\]

 

Así,

\[\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} e^{u+s} \frac{1}{2} d u d v d s\]

 

Resolviendo esta integral como estamos acostumbrados, tendremos

 

\[\iiint_{W} e^{x+y+z} d V=e^{2}+e^{-2}-2\]

 

En resumen, los pasos son los siguientes: proponemos el cambio, cambiamos el dominio y calculamos la integral en términos de \(u, v, s\).

 

Resolviendo un ejercicio más

 

Vamos a resolver la siguiente integral:

 

\[\iiint_{W} \frac{z e^{x-y}}{x+y+z} d V\]

 

Siendo \(W\) la región limitada por los planos: \(x-y=0 ; x-y=1 ; x+y+z=1 ; x+y+z=2 ; z=0 ; z=3\)

 

Paso 1: proponer el cambio de variable 

 

\[u=x-y\]

 

\[v=x+y+z\]

 

\[s=z\]

 

Paso 2: calcular el Jacobiano

 

\[J^{\star}=\frac{\partial(u, v, s)}{\partial(x, y, z)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial s}{\partial x} & \frac{\partial s}{\partial y} & \frac{\partial s}{\partial z}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=2\]

 

\[J=\frac{1}{J^{\star}}=\frac{1}{2}\]

 

Paso 3: cambiar el límite por región 

 

\[x-y=0 \rightarrow u=0\]

 

\[x-y=1 \rightarrow u=1\]

 

\[x+y+z=1 \rightarrow v=1\]

 

\[x+y+z=2 \rightarrow v=2\]

 

\[z=0 \rightarrow s=0\]

 

\[z=3 \rightarrow s=3\]

 

Esto define una nueva región \(R\), en el espacio: \(0 \leq u \leq 1 ; 1 \leq v \leq 2 ; 0 \leq s \leq 3\).

 

Paso 4: armar y resolver la integral 

 

\[\int_{0}^{3} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \frac{s e^{u}}{v} \cdot \frac{1}{2} d u d v d s\]

 

Resolviendo esta integral como estamos acostumbrados, tendremos

 

\[\iiint_{W} e^{x+y+z} d V=\frac{9}{4} \ln 2 \cdot(e-1)\]

 

Y eso es todo, ¡Vamos a los ejercicios!

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