Centro de masas y centroide de sólidos
Centro de Masas
Al igual que para las regiones planas, podemos entender al centro de masas de un cuerpo como el punto en que consideramos que se concentra toda su masa.
¿Cómo así? Si tenemos un cuerpo de tres dimensiones (un cubo, por ejemplo) y queremos tratarlo en un problema como una masa puntual, dicho punto debe ser el centro de masas.
Bien, vamos a escribir eso matemáticamente. Siendo \(\delta(x, y, z)\) la densidad de masa de dicho volumen, sabemos que su masa es dada por la integración de dicha función en la región volumétrica \(V\) ocupada por el cuerpo:
\[M=\iiint_{V} \delta(x, y, z) d V\]
El primer momento en relación al plano \(xy\) es dado por la integración de la densidad multiplicada por la distancia de cada punto de la placa al plano (ten en cuenta que la distancia es exactamente igual a \(z\)). Por tanto:
\[M_{x y}=\iiint_{V} z \delta(x, y, z) d V\]
Puedes interpretar esta expresión como \(M_{x}=\iiint_{T} z d m\), es decir, la suma de cada diferencial de masa de la placa multiplicado por su brazo de palanca \(z\).
El momento en relación al plano \(xz\) sigue el mismo razonamiento, la distancia de cada punto de la placa a ese eje será dada por \(y\):
\[M_{x z}=\iiint_{V} y \delta(x, y, z) d V\]
Para el plano \(yz\), la distancia es \(x\):
\[M_{y z}=\iiint_{V} x \delta(x, y, z) d V\]
Entonces, tenemos que las coordenadas del centro de masas son dadas por:
Podemos pensar en esa expresiones como medias ponderadas, donde el peso es la masa de la placa. “¿Qué quieres decir?”
¿Acaso \(M_{y z}\) no es dado por la multiplicación, en cada punto del sólido, entre la masa del punto y la coordenada \(x\)? Si sumamos \(M_{y z}\) para cada punto del sólido y dividimos por la masa total del mismo, tenemos una “coordenada \(x\) media” ¿cierto? Ese es el concepto del centro de masas.
Para que se te haga más fácil memorizar las expresiones, piensa en lo siguiente: el denominador siempre es la integral de la densidad en el volumen (lo que nos da la masa), mientras que el numerador es la integral de dicha densidad multiplicada por la coordenada del centroide que queremos.
Básicamente, en este tipo de problemas, necesitamos encontrar la masa \(M\) de la región y los momentos \(M_{y z}, M_{x z}\) y \(M_{x y}\), para luego hacer la relación entre estos valores.
Para cada una de esas magnitudes tendrás que armar y resolver una integral triple, usando los mismos conceptos que conoces.
Centroide
Definimos al centroide como el centro geométrico de una región. “¿Qué?” Tranquilo, de la misma forma que el centro de masas puede ser interpretado como una media ponderada donde el peso es la masa de la región, podemos ver que al centroide como una media donde el peso es el volúmen.
Siguiendo el mismo razonamiento, tenemos el volúmen de una región \(V\):
\[V=\iiint_{V} d V\]
Entonces, las coordenadas del centroide de una región plana son dadas por:
\[x_{c}=\frac{\iiint_{V} x d V}{\iiint_{V} d V}\]
\[y_{c}=\frac{\iiint_{V} y d V}{\iiint_{V} d V}\]
\[z_{c}=\frac{\iiint_{V} z d V}{\iiint_{V} d V}\]
Ves que es muy parecido al centro de masas, ¿verdad? Ten en cuenta que cuando \(\delta(x, y, z)= \text {constante}\), las expresiones son exactamente iguales. Eso quiere decir que, en regiones con densidad constante homogénea, el centro de masas y el centroide (centro geométrico) coinciden.
Estos dos tipos de cuestiones son extremadamente parecidos. El paso a paso es el mismo, la diferencia será si la densidad aparecerá o no en las expresiones.
Vas a armar estas cuatro integrales (piensa en las medias ponderadas para así recordar las fórmulas) y resolverlas como cualquier otra integral triple: usando el cambio esférico, cilíndrico, etc… cuando sea necesario. Veamos un ejemplo:
Ejemplo: determine el centro de masas del cubo \(0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1\),cuya densidad en el punto \((x, y, z)\) es \(\rho(x, y, z)=x\).
Paso 1: como sabemos, las coordenadas del centro de masas de un sólido son dadas por:
\[\bar{x}=\frac{M_{y z}}{M}\]
\[\bar{y}=\frac{M_{x z}}{M}\]
\[\bar{z}=\frac{M_{x y}}{M}\]
Donde \(M_{yz}\), \(M_{xz}\) y \(M_{xy}\) son momentos, mientras que \(M\) es la masa total del sólido. Entonces, vamos a calcular cada uno de esos términos de forma separada.
Paso 2: vamos a calcular la masa \(M\). Si la función densidad es \(\rho\), entonces
\[M=\iiint_{W} \rho(x, y, z) d V=\iiint_{W} x d V\]
Como es un cubo, podemos escribir \(0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\) y \(0 \leq z \leq 1\) directamente en la integral:
\[M=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x d x d y d z\]
Resolviendo eso, tenemos
\[M=\left.\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{1} d y d z\]
\[M=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} d y d z\]
\[M=\left.\frac{1}{2} \int_{0}^{1} y\right|_{0} ^{1} d z\]
\[M=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} d z\]
\[M=\left.\frac{1}{2} z\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}\]
Paso 3: vamos a calcular los momentos
\[M_{y z}=\iiint_{w} x \rho(x, y, z) d V=\iiint_{w} x^{2} d V\]
Sustituyendo los intervalos:
\[M_{y z}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2} d x d y d z\]
\[M_{y z}=\left.\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1} d y d z\]
\[M_{y z}=\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} d y d z=\frac{1}{3}\]
Paso 4: ahora \(M_{x y}\)
\[M_{x y}=\iiint_{w} z \rho(x, y, z) d V=\iiint_{w} z x d V\]
Sustituyendo los intervalos:
\[M_{x y}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} z x d x d z d y\]
\[M_{x y}=\left.\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} z\right|_{0} ^{1} d z d y\]
\[M_{x y}=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} z d z d y\]
\[M_{x y}=\left.\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{z^{2}}{2}\right|_{0} ^{1} d y\]
\[M_{x y}=\frac{1}{4} \int_{0}^{1} d y=\frac{1}{4}\]
Paso 5: por último \(M_{x z}\)
\[M_{x z}=\iiint_{w} y \rho(x, y, z) d V=\iiint_{w} y x d V\]
Sustituyendo los intervalos:
\[M_{x z}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} y x d x d y d z\]
\[M_{x z}=\left.\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} y\right|_{0} ^{1} d y d z\]
\[M_{x z}=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} y d y d z\]
\[M_{x z}=\left.\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{y^{2}}{2}\right|_{0} ^{1} d z\]
\[M_{x z}=\frac{1}{4} \int_{0}^{1} d z=\frac{1}{4}\]
Paso 6: juntar todo para encontrar el centro de masas:
\[\bar{x}=\frac{M_{y z}}{M}=\frac{1 / 3}{1 / 2}=\frac{2}{3}\]
\[\bar{y}=\frac{M_{x z}}{M}=\frac{1 / 4}{1 / 2}=\frac{1}{2}\]
\[\bar{z}=\frac{M_{x y}}{M}=\frac{1 / 4}{1 / 2}=\frac{1}{2}\]
\[(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})=\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\]
En esta ocasión la parte nueva son las fórmulas, el resto ya lo hemos visto. ¡Vamos a los ejercicios!
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