Método Matricial – Caso Homogéneo

En esta ocasión veremos cómo resolver sistemas de EDOs mediante el método matricial. Recordemos que un sistema de EDOs de primer orden es así:

\[X^{\prime}(t)=A X(t)+g(t)\]

Decimos que es homogéneo cuando \(g(t)\) es nulo, ¿verdad? Cuando no tenemos ninguna función de \(t\).

Echémosle un vistazo a este sistema:

\[\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x+8 y \\ y^{\prime}=2 x+y\end{array}\right.\]

Recuerda que este es un sistema con \(x\) y \(y\), ¿cierto? Entonces es un sistema \(2 x 2\)

Método Matricial para sistema \({2} \space x \space{2}\)

El objetivo es hallar una respuesta en la forma

\[X=c_{1} x^{(1)}+c_{2} x^{(2)}\]

Que será la respuesta para el sistema. Pero vamos con calma. 

Lo primero es escribir el sistema en forma matricial. ¿Recuerdas cómo hacerlo? Veamos el sistema.

\[\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x+8 y \\ y^{\prime}=2 x+y\end{array}\right.\]

Recuerda que de un lado tenemos la derivada y del otro la función lineal. 

Comenzamos haciendo

\[X=\left(\begin{array}{l}x(t) \\ y(t)\end{array}\right)\]

El vector de las derivadas quedará

\[X^{\prime}=\left(\begin{array}{l}x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t)\end{array}\right)\]

Para escribir en forma matricial el sistema debe quedar así:

\[X^{\prime}=A X\]

Necesitamos hallar \(A\), esa matriz \(A\) es de los coeficientes del sistema. Esta será

\[A=\left(\begin{array}{ll}1 & 8 \\ 2 & 1\end{array}\right)\]

Y el sistema será

\[\left(\begin{array}{l}x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 8 \\ 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x(t) \\ y(t)\end{array}\right)\]

¿Bien?

Ya teniendo el sistema en forma matricial, lo primero que tenemos que hallar para resolverlo son los autovalores de \(A\), llamados \(\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}\right]\).

Usando el álgebra lineal, veremos que los autovalores serán

\[\operatorname{det}(A-\lambda I)=0\]

\[\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 8 \\ 2 & 1-\lambda\end{array}\right|=0\]

\[(1-\lambda)^{2}-16=0\]

\[\lambda-2 \lambda+\lambda^{2}-16=0\]

\[\lambda^{2}-2 \lambda-15=0\]

De ahí tenemos que:

\[\lambda_{1}=5\space \space  y \space \space \lambda_{2}=-3\]

Luego, debemos hallar los autovalores asociados a \(A\), llamados \(\left[v_{1}, v_{2}\right]\).

Comenzando con el autovector asociado a \(\lambda_{1}\).

\[\left(A-\lambda_{1} I\right) v_{1}=0\]

\[\left(\begin{array}{cc}-4 & 8 \\ 2 & -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)\]

\[\left\{\begin{array}{c}-4 c_{1}+8 c_{2}=0 \\ 2 c_{1}-4 c_{2}=0\end{array}\right.\]

Resolviendo todo eso, tendremos:

\[c_{1}=2, c_{2}=1\]

\[v_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)\]

Podemos pensar que este sistema tiene dos ecuaciones linealmente dependientes. Es decir, si hacemos \(-2 \times\left(2 c_{1}-4 c_{2}\right)\) encontramos \(-4 c_{1}+8 c_{2}\), quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones. Estaríamos completamente en lo correcto si pensamos eso.

Lo que hacemos aquí es escoger un par de valores \(c_{1}\) y \(c_{2}\) que cumplan la condición y sean convenientes. No vamos a escoger, por ejemplo \(c_{1}=\frac{\sqrt{421}}{2} \space \space \mathrm{y} \space \space c_{2}=\frac{\sqrt{421}}{4}\), porque serían números poco convenientes, ¿verdad? 

Siguiendo el mismo análisis de antes, ahora para \(\lambda_{2}\):

\[\left(A-\lambda_{2} I\right) v_{2}=0\]

\[\left(\begin{array}{cc}4 & 8 \\ 2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}d_{1} \\ d_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)\]

\[\left\{\begin{array}{c}4 d_{1}+8 d_{2}=0 \\ 2 d_{1}+4 d_{2}=0\end{array}\right.\]

Resolviendo todo eso, tendremos:

\[v_{2}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right)\]

En este caso, las soluciones \(x^{(1)}\) y \(x^{(2)}\) serán

\[x^{(1)}=v_{1} e^{\lambda_{1} t}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1\end{array}\right) e^{5 t}\]

\[x^{(2)}=v_{2} e^{\lambda_{2} t}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right) e^{-3 t}\]

Y la solución general será

\[X=C_{1}\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right) e^{5 t}+C_{2}\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right) e^{-3 t}\]

Pero en realidad tenemos \(3\) posibilidades para esos autovalores y autovectores asociados. 

La respuesta será dada con dos vectores \(x^{(1)}\) y \(x^{(2)}\), veamos como quedan en cada caso. 

Autovalores Reales diferentes \(\left(\lambda_{1} \neq \lambda_{2}\right)\)

Las funciones serán iguales a

\[x^{(1)}=v_{1} e^{\lambda_{1} t}\]

\[x^{(2)}=v_{2} e^{\lambda_{2} t}\]