Test de comparación de límites

Test de comparación de límites

Introducción

 

En el tema anterior, vimos que podemos comparar dos series que se asemejan para determinar si la serie desconocida converge o no. Y también vimos dos ejemplos interesante:

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n-2} \quad \& \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+2}\]

 

En el primero, pudimos hacer una buena comparación con la serie armónica:

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}\]

 

Ya que

\[\frac{1}{n-2}>\frac{1}{n} \quad \bigg(\text {verdadero porque } n>n-2\bigg)\]

 

Por el test de comparación, si la serie que es menor (la armónica en este caso) diverge, entonces, la serie que es mayor también es divergente. ¿Y qué hay del segundo caso?

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+2}\]

 

No podemos usar el test de comparación, ya que:

 

\[\frac{1}{n+2}<\frac{1}{n}\]

 

Es decir, la serie que sabemos que es divergente está por encima. Entonces, no podemos hablar de la serie que está por debajo. 

 

Sin embargo, sabemos que esta diverge, como vimos en el tema anterior. Suponiendo que no supiéramos, todavía podríamos sospechar, puesto que en el infinito el \(2\) se vuelve despreciable cerca de \(n\), lo que hace que se asemeje a la serie armónica:

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}\]

 

En estos casos se sospecha que se parezca a una serie conocida, pero no podemos usar el test de comparación normal, sino que utilizamos el test de comparación de límites.

 

Test de comparación de límites 

 

Tal como en el test anterior, debemos tener: la serie que queremos probar

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+2}\]

 

Y la serie conocida. En este caso la serie armónica: 

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}\]

 

Como su nombre indica, vamos a comparar dos series solo que en el límite:

 

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n}}\]

 

Observa que colocamos el término general que queremos comprobar arriba mientras que el término general que conocemos está abajo. Ahora resolvemos el límite:

 

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+2}=\]

 

Dividiendo todo por \(n\):

 

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{2}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1\]

 

Como el límite es igual a \(1\), que obviamente es diferente a \(0\): eso solo puede significar que la serie que está siendo probada tiene el mismo comportamiento que la serie conocida:

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n} \quad \rightarrow \quad Diverge\]

 

\[\text {Entonces}\]

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+2} \quad \rightarrow \quad Diverge\]

 

Entonces podemos resumir este test de la siguiente manera:

 

“Sean dos series de términos positivos \(\sum a_{n}\) y \(\sum b_{n}\), si \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=C>0\)” (donde \(C\) es un número), entonces o ambas series convergen o ambas divergen”

 

¿Y sabes lo mejor de todo? No importa si escoges \(a_{n}\) o \(b_{n}\), eso no afectará el resultado que queremos. Si \(C>0\) para uno, será mayor que cero para el otro también.

 

Veamos otro ejemplo: estudie la convergencia de la serie:

 

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-2}\] 

 

Pero antes: ¿Opinas que esa serie converge o no? Si observas detalladamente, esa serie tiene mucha semejanza con la \(p-\)serie de \(p=2\), que converge:

 

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\]

 

Aun así, en el infinito las dos son muy similares ya que \(-2\) se vuelve despreciable cerca de \(n^{2}\). Entonces, de hecho si podemos sospechar sobre la semejanza de dichas series. 

 

¿Pero será que también converge? No podemos responder esa pregunta mediante el test de comparación convencional, porque esa serie es mayor que una serie que converge, ya que:

 

\[n^{2}-2<n^{2}\]

 

¿Para casos como estos qué hacemos? Usamos el test de comparación de límites: tomamos \(a_{n}\) como los términos de la serie que queremos saber:

\[a_{n}=\frac{1}{n^{2}-2}\]

 

Ahora el \(b_{n}\) de la serie que conocemos:

 

\[b_{n}=\frac{1}{n^{2}}\]

 

Entonces… 

 

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n^{2}-2}}{\frac{1}{n^{2}}}=\]

 

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{n^{2}-2}=\]

 

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}}-\frac{2}{n^{2}}}=\]

 

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{2}{n^{2}}}=1\]

 

\(1\) es diferente a \(0\) entonces, como la \(p-\)serie converge, la serie del problema también converge, como teníamos previsto. 

 

Ahora surge la pregunta: ¿Cuando usamos la comparación y cuando usamos la comparación de límites? En general, usamos el test de comparación si la serie es muy similar a alguna que conozcamos. Pero si no podemos establecer la relación que necesitamos (mayor o menor), intentamos hacer el límite. 

 

Veamos un ejemplo un poco más complicado:

 

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{\sqrt{n^{4}-n+5}}\]

 

En esta serie no es tan evidente si converge o no, ni siquiera se puede utilizar el test de comparación. Entonces, aquí tienes un truco: cada vez que la serie este compuesta de “polinomios”, como esta, utilizaremos la comparación de límites. Bien, pero ¿Cuál es la serie que vamos a utilizar para la comparación? 

 

Podemos notar que en el infinito el \(1\) delante de \(n+1\) es cercano a \(n\), mientras que el término de la raíz es cercano a \(n^{4}\) (\(-n+5\) es cada vez más despresiable cercano a ese término). Entonces… 

 

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{\sqrt{n^{4}-n+5}} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{4}}}=\]

 

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}}=\]

 

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]

 

Ahora si, encontramos una serie conocida: la serie armónica, que diverge. ¿Pero por qué hicimos eso? Simplemente porque esa serie presenta los términos dominantes de la serie que queremos estudiar y, por tanto, debe tener la misma convergencia. Entonces, calculamos \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} / b_{n}\) y ver si encontramos un número mayor que cero. 

 

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{\sqrt{n^{4}-n+5}} \times n\]

 

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+n}{\sqrt{n^{4}-n+5}}=\]

 

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}(1+1 / n)}{n^{2} \sqrt{1-1 / n^{3}+5 / n^{4}}}=\]

 

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+1 / n)}{\sqrt{1-1 / n^{3}+5 / n^{4}}}=1>0\]

 

Como encontramos que \(C=1>0\), la serie del problema tiene la misma convergencia que la serie con la que la comparamos: ambas divergen. 

 

¡Vamos a los ejercicios!

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