Test de comparación

Introducción 

En esta ocasión veremos otro test para las series. Supongo que por el título sabrás cual es el nombre de este test: Comparación. Pronto entenderás porqué se llama así. 

Test de comparación: Identificación

Debes estarte preguntando: ¿cómo sabré que test utilizar?

Veamos un ejemplo para ilustrar el uso de este test: el problema te pide que digas si la serie converge o no:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+2}\]

Con solo mirar sabemos que el término \(a_{n}\) tiende a cero, ¿verdad?  Con \(n \rightarrow \infty\), el denominador tenderá al infinito y la razón tenderá a cero. En este caso, el test de divergencia nos sirve.

Sin embargo, el hecho de que  \(a_{n}\) tienda a cero no significa que la serie converge, por tanto, debemos analizar mejor. Si te das cuenta, esta serie se asemeja a la serie geométrica: 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+2}\]

Pero atención: no podemos decir que es una serie geométrica solo por el hecho de que tiene un \(2\) sumando. Solo se parece. Y ese parecido es el motivo principal para usar este test. 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}\]

Test de comparación: solución 

Para resolver, vamos con calma: la geométrica que estamos usando para este test

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}\]

Converge, porque tiene \(r=1 / 2<1\). La gran pregunta es: ¿será que la serie del problema también converge?

Podemos sospechar que si, ¿no? Ya que la única diferencia es que tiene un \(2\) sumando. Para probar eso, podemos intentar comparar esos dos términos de la siguiente forma:

\[\frac{1}{2^{n}+2}<\frac{1}{2^{n}}\]

Y dirás: “¡AH! Pero de dónde salió ese signo de \(<\). ¿Por qué no el de \(>\)?”

En realidad solo “escogí al azar”. Tú puedes escoger cualquiera de los dos signos, lo importante es verificar si es cierto o no. ¿Sabes cómo puedes verificar? Multiplicando por el método de la carita felíz: 😁

\[\frac{1}{2^{n}+2}<\frac{1}{2^{n}} \quad \rightarrow \quad 2^{n}<2^{n}+2\]

¿Eso es cierto? ¡Lo es! Ya que con ese \(2\) sumando no hay forma de que sea menor. ¿Pero y si no fuese cierto? Eso significaría que escogimos el signo incorrecto, es decir, en lugar de:

\[\frac{1}{2^{n}+2}<\frac{1}{2^{n}}\]

Sería

\[\frac{1}{2^{n}+2}>\frac{1}{2^{n}}\]

¿Lo ves?

Bien, entonces sabemos que:

\[\frac{1}{2^{n}+2}<\frac{1}{2^{n}}\]

Y eso implica lo siguiente:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+2}<\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}\]

Ahora pensamos de la siguiente forma: si la serie que está encima (la serie que es mayor) realmente converge, tendría sentido que pensáramos que la serie que está abajo (la serie que es menor que queremos saber), converge. Y, de hecho, esto es lo que sucede cuando utilizamos la prueba de comparación:

Supongamos dos series de términos positivos \(\sum a_{n}\) y \(\sum b_{n}\)

\[\left\{\begin{array}{l}\text { si } a_{n} \leq b_{n} \text { y } b_{n} \text { converge, entonces } a_{n} \space \text{también converge} \\ \text { si } a_{n} \geq b_{n} \text { y } b_{n} \text { diverge, entonces } a_{n} \text { también diverge }\end{array}\right.\]

¿Confuso? Déjame que te explique. El test dice así: si la serie que queremos conocer es menor que la otra serie que sabemos que es convergente, entonces la serie desconocida es convergente (exactamente como en el problema del ejemplo). 

De la misma forma, si la serie desconocida es mayor que la serie la cual sabemos que diverge, entonces la desconocida también va a diverger. Mira el ejemplo: 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n-2}\]

Esa serie se parece a una serie armónica:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}\]

Que sabemos que diverge. Entonces no sería una sorpresa si la serie que queremos saber también diverge, ¿cierto? Vamos a verificar por el test de comparación, comparando los términos:

\[\frac{1}{n-2}>\frac{1}{n}\]

Escogimos el signo al azar, pero justamente eso es lo que queremos: que la serie que no sabemos sea mayor que una serie divergente conocida. Pero en realidad puedes escoger cualquier signo, siempre y cuando verifiques si es cierto o no:

\[n>n-2\]

Lo cual es cierto. Entonces:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n-2}>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}\]

Como la serie que está por “debajo” (después del signo de menor que), diverge, lo más posible es que la serie que está arriba también diverja al infinito.

Principal error al aplicar el test de comparación

¡Ahora cuidado! El test no afirma nada sobre series mayores que series que convergen o menores que series que divergen, en dichos casos no podemos afirmar nada sobre la convergencia, por tanto, tenemos que conseguir otro método.

Ejemplo:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+2}\]

Ya que

\[\frac{1}{n+2}<\frac{1}{n}\]

En ese caso no podemos saberlo mediante el test comparación. Después de todo la serie que está "debajo" de la serie divergente, puede divergir, pero también puede converger. 

TRANQUILO: en los próximos capítulos veremos como resolver ese problema. 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+2}=\sum_{m-2=0}^{\infty} \frac{1}{m}=\]

\[\sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m}\]

Esta es la serie armónica, solo que comenzando a partir del \(2\). Por tanto, diverge. 

Series más comunes para usar con la comparación

Está claro que, para aplicar el test de comparación, necesitamos tener algunas series de convergencia conocidas en mente. La principales que utilizaremos son las siguientes:

   \(\bullet\) Serie geométrica (\(\sum r^{n}\) converge con \(|r|<1\))

   \(\bullet\) Serie armónica (\(\sum 1 / n\) diverge)

   \(\bullet\) \(p-\)series  (\(\sum 1 / n^{p}\) converge para \(p>1\))

Ejemplo: estudie la convergencia de 

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n}\]

Paso 1: entonces podemos ver que, por el formato de la serie, que su término general tiende a cero, es decir, el test de divergencia no se aplica aquí.

Antes de hacer el test de comparación, debemos tener una idea con respecto a la convergencia de la serie, para saber por dónde comenzar: en el infinito es un poco intuitivo que \(n^{2}+n\) tiende más a parecerse a \(n^{2}\), ¿cierto? Lo que sugiere que esta serie tendrá un comportamiento similar al de la siguiente serie:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\]

Por tanto, podemos sospechar que la serie converja. 

Paso 2: cierto, ahora debemos probar eso:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\]

Como:

\[n^{2}+n \geq n^{2}\]

Podemos decir que:

\[\frac{1}{n^{2}+n} \leq \frac{1}{n^{2}}\]

Entonces:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\]

Por el test de comparación, como la \(p-\)serie de \(p=2>1\) converge, la serie del problema también converge. 

Si, lo sé, usamos muchas “conjeturas” en este capítulo. Pero no te preocupes, porque con la práctica todo se volverá más fácil. ¿Qué te parece si vamos a los ejercicios?