Límite de una sucesión

Ya sabemos que son las secuencias, así que vamos a estudiarlas un poco más a fondo. Supongamos que en algún momento querremos saber cuál es el último término de la siguiente secuencia (si es que existe):

\[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots, \frac{n}{n+1}, \ldots\]

Obs: Ya sabemos que esa secuencia puede ser representada “en resúmen” de esta forma:

\[\left\{\frac{n}{n+1}\right\}_{n=1}^{\infty}\]

Si la secuencia no fuera hasta el infinito, sino hasta \(n=1817918\), sería fácil porque solo necesitariamos poner \(n\) en la fórmula del término general:

\[\frac{1817918}{1817919}=\]

\[0,99999944\]

Para nuestra alegría, \(n\) va hacia el infinito. Difícil, ¿no? Si observamos los números conforme \(n\) va aumentando, podríamos decir que el último término es \(1\).

En este caso, tendremos que utilizar el límite. ¿No vamos a aumentar los valores de \(n\)? Entonces, vamos a tomar como límite el infinito. Mira:

\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1\]

¡Genial, hallamos un número! Cuando hacemos que el límite del término general con \(n\) vaya hacia el infinito estamos viendo si la secuencia es convergente (cuando el límite existe y vale un número) o divergente (cuando el límite no existe y sigue hacia el infinito). Por tanto, la secuencia de ejemplo es convergente.

Entonces, el último término de la secuencia es \(1\). Cuidado, pues esta secuencia no tiene el número \(1\). Lo que ocurre es que los números de la secuencia se aproximan muchísimo a \(1\). Por cierto, muchas veces, en la fórmula se omite la parte de \(n \rightarrow \infty\), pues esta resulta implícita. En realidad, solamente se escribe \(\lim a_{n}\).

Secuencia vs Función

En secuencias, \(n\) solamente puede asumir números enteros. Mientras que una función está definida en un intervalo continuo. Observa el siguiente gráfico:

Obs: decimos que la secuencia es discreta, ya que no es continua.

Por el gráfico, podemos intuir que, tanto la secuencia (las pelotitas) como la función \(f(x)\) (la curva contínua) poseen límite \(L\). Ambas se acercan a ese valor

Eso quiere decir que, si una función \(f(x)\) coincide con una secuencia en todos los valores enteros \(n\), entonces, el límite de la secuencia es igual al de la función. De esa forma, podemos calcular el límite de la secuencia usando los métodos que conocemos para funciones. 

Por ejemplo, el propio límite que calculamos intuitivamente al principio, puede ser aproximado por una función \(f(x)\):

\[\left\{\frac{n}{n+1}\right\}_{n=1}^{\infty} \rightarrow \quad a_{n}=\frac{n}{n+1} \quad \rightarrow \quad f(x)=\frac{x}{x+1}\]

Y ahora podemos calcular el límite como de costumbre:

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x+1}=\]

Como \(x\) está yendo hacia el infinito, podemos dividir todo por \(x\):

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}}=\]

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\]

Como \(1/x\) va a \(0\) cuando \(x\) va al infinito… 

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1\]

Como en este caso la secuencia puede ser la aproximada de la función…

\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=1\]

¿Entendiste?

Podemos resumir todo lo que dijimos sobre sustituir la secuencia por una función en el siguiente teorema:

Si \(f(n)=a_{n}\) cuando \(n\) es entero y \(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L\), entonces \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=L\).

Vamos a practicar un poco más

Será que esta secuencia converge:

\[a_{n}=\mathrm{e}^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{n} \cdot \operatorname{sen} \frac{1}{n}\]

¡Si! Podemos sustituir esa secuencia por una función de \(x\):

\[a_{n}=\mathrm{e}^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{n} \cdot \operatorname{sen} \frac{1}{n} \quad \rightarrow \quad f(x)=e^{x} \cdot x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right) \quad \rightarrow\]

Y calcular su límite:

\[\lim _{x \rightarrow \infty} e^{x} \cdot x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)=\]

Además, parece que vamos a utilizar el límite fundamental de la trigonometría, después podemos tomar ese producto por  \(x\) y pasarlo en forma de fracción recordando que \(\frac{1}{1/x}=x\):

\[\lim _{x \rightarrow \infty} e^{x} \cdot x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} e^{x} \cdot \frac{\sin \left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\]

Vamos a hacer una sustitución:

\[u=\frac{1}{x}\]

Entonces:

\[\lim _{x \rightarrow \infty} e^{x} \cdot \frac{\sin \left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} e^{1 / u} \cdot \frac{\sin (u)}{u}=\]

\[\lim _{u \rightarrow 0} e^{\frac{1}{u}} \cdot \lim _{u \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} u}{u}\]

Este es el límite fundamental (conocemos su valor), entonces:

\[\varliminf_{u \rightarrow 0} e^{\frac{1}{u}} \cdot \lim _{u \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} u}{u}=\infty \cdot 1=\infty\]

¡La secuencia diverge!

Observación: si no recuerdas las reglas del límite, sería bueno que le dieras un repaso. De cualquier forma, a continuación tendrás una lista de las principales propiedades que puedes utilizar:

   \(1.\) \(\lim _{x \rightarrow \infty} c f(x)=c \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)\)

   \(2.\) \(\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)+g(x))=\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)+\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)\)

   \(3.\) \(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \cdot g(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)\)

   \(4.\) \(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) / g(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) / \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)\) (si \(\lim _{x \rightarrow \infty} g(x) \neq 0\)

Incluso, puedes utilizar el teorema de L’Hopital. Pero eso lo veremos en los ejercicios.

Quizá te estés preguntando: genial, cuando la secuencia puede ser aproximada por una función, podemos aplicar todas esas reglas, sin embargo, ¿cuando no podemos?

Pues en ese caso, tienes que descubrir el límite sin aplicar ninguna regla. Observa el ejemplo:

\[a_{n}=\frac{1}{n !}\]

Esa secuencia no puede ser aproximada por una función continua, pues no tiene sentido hablar de \(1,69\), por ejemplo. Entonces… ¿cómo vamos a calcular ese límite? 

\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n !}=?\]

Bien, podemos pensar de la siguiente manera: cuando \(n\) aumenta, el factorial de \(n\) aumenta aún más. Cuando \(1\) es dividido por un número sumamente grande, el resultado será muy proximo a \(0\), ¿cierto? Entonces:

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n !}=0\]

¡Vamos a hacer ejercicios!