Integrales triples en regiones cúbicas

Definición

Hasta ahora hemos visto integrales simples (definidas para funciones de una variable) e integrales dobles (para funciones de dos variables). En esta ocasión vamos a ampliar este concepto: definiendo las integrales triples para funciones de tres variables \(f(x, y, z)\). Y pensaste que no podía ponerse peor, ¿verdad? Tranquilo, es más fácil de lo que parece 😁

Mientras que para las integrales simples el intervalo de integración infinitesimal  era \(dx\) (una longitud)  y para las integrales dobles era \(dxdy\) (un área), para las integrales triples tendremos un volumen infinitesimal \(d x d y d z=d V\), que puede ser representado así:

Siendo así, la integral triple de \(f(x, y, z)\) es definida de esta forma:

\[\iiint_{W} f(x, y, z) d V=\lim _{l, m, n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{i j k}, y_{i j k}, z_{i j k}\right) \Delta V\]

El término dentro del límite es la Suma Triple de Riemann, muy similar a lo que hemos visto tanto en las integrales simples como en las integrales dobles. Y así como vimos para las integrales dobles, el método práctico para calcular integrales triples es a través de integrales iteradas. Entonces, tenemos el Teorema de Fubini para integrales triples:

\[\iiint_{W} f(x, y, z) d V=\int_{e}^{f} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y, z) d x d y d z\]

Es decir, vamos a integrar por etapas, en relación a \(x\), \(y\) y \(z\).

Al igual que en las integrales dobles, en este caso tenemos más de un orden de integración (para las integrales dobles \((d x d y\) o \((d y d x\)), las triples pueden ser escritas de más de una manera. En realidad, de seis maneras distintas. Debes utilizar la que sea más conveniente para el ejercicio. 

Pero, ¿cómo calculamos estas integrales? Siguiendo el mismo razonamiento que usamos para la integrales dobles ¿recuerdas?

Cuando integramos en relación a una variable, las otras serán tomadas como constantes. Siempre recuerda que una integral triple, al igual que una doble, te da un número, nunca una función, o sea, luego de integrar \(3\) veces, si no obtienes un número, algo está mal. 

Vamos a calcular la siguiente integral triple:

\[\iiint_{B} x y z^{2} d V\]

Donde \(B\) es paralelepipedo dado por:

\[B=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 1 ;-1 \leq y \leq 2 ; 0 \leq z \leq 3\}\]

Paso 1: siempre que la región de integración sea esta “caja” limitada solamente por números, podemos usar cualquiera de los seis órdenes de integración, vamos a escoger \(d x d z d y\). Como ya tenemos los intervalos de cada variable, solamente lo ponemos en la integral. En este caso, la integral iterada pasa a ser:

\[\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} \int_{0}^{1} x y z^{2} d x d z d y=\]

Ten en cuenta que \(y\) varía de \(-1\) a \(2\), como escribimos en la integral de fuera, \(z\) varía de \(0\) a \(3\), como está en la integral del medio y \(x\) varía de \(0\) a \(1\), como en la integral de dentro. ¡Debes tener mucho cuidado de no confundir los intervalos!

Paso 2: vamos a comenzar integrando en relación a \(x\) (integral de dentro):

\[=\left.\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} \frac{x^{2}}{2} y z^{2}\right|_{x=0} ^{x=1} d z d y=\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} \frac{y z^{2}}{2}\left(1^{2}-0^{2}\right) d z d y=\]

\[=\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} \frac{y z^{2}}{2} d z d y\]

Paso 3: vamos a integrar en relación a \(z\)

\[=\left.\int_{-1}^{2} y \frac{z^{3}}{6}\right|_{z=0} ^{z=3} d y=\int_{-1}^{2} \frac{y}{6}\left(3^{3}-0^{3}\right) d y=\int_{-1}^{2} \frac{9 y}{2} d y=\frac{27}{4}\]

¿Ves? Es parecido a lo que hemos calculado con las integrales dobles.

¡Vamos a los ejercicios!