Integrales triples en regiones generales

Hemos aprendido a trabajar con regiones cúbicas. Pero, ¿creías que todo había terminado? ¡Por supuesto que no, todavía nos falta mucho! En esta ocasión, aprenderemos a calcular la integral triple en cualquier sólido del espacio.

Tipos de regiones

Así como en las integrales dobles, podemos determinar una región de tres maneras distintas.

Regiones de Tipo I: en \(z\) varían entre dos funciones \(f(x, y)=z\) y son limitadas en el plano \(xy\) por un área \(D\). Observa la siguiente figura:

En otras palabras, ese sólido tiene \(D\) como proyección en \(xy\) y es limitado tanto arriba como abajo por dos superficies. Dichas regiones pueden ser escritas de esta manera:

\[W=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D ; f_{1}(x, y) \leq z \leq f_{2}(x, y)\right\}\]

Las integrales sobre este tipo de región se arman así:

\[\iiint_{W} f(x, y, z) d V=\iint_{D}\left[\int_{f_{1}(x, y)}^{f_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z\right] d A\]

La región \(D\) es un área que puede ser escrita como de tipo \(I\) o tipo \(II\), como vimos en las integrales dobles. Por tal razón, no separamos la integral doble en integral iterada, dependiendo del ejercicio, \(d A\) será sustituida por \(dxdy\) o por \(dydx\).

Regiones de Tipo II: en \(y\) varían entre dos funciones \(g(x, z)=y\) y son limitadas en el plano \(xz\) por un área \(D\), como en la siguiente figura:

Matemáticamente, estas regiones pueden ser escritas así:

\[W=\left\{(x, y, z) \mid(x, z) \in D ; g_{1}(x, z) \leq y \leq g_{2}(x, z)\right\}\]

Las integrales se arman de esta forma:

\[\iiint_{W} f(x, y, z) d V=\iint_{D}\left[\int_{g_{1}(x, z)}^{g_{2}(x, z)} f(x, y, z) d y\right] d A\]

Regiones de Tipo III: en \(x\) varían entre dos funciones \(h(y, z)=x\) y son limitadas en el plano \(yz\) por un área \(D\), como podemos ver:

Siguiendo el mismo razonamiento de las regiones anteriores, esta puede ser escrita como:

\[W=\left\{(x, y, z) \mid(y, z) \in D ; h_{1}(y, z) \leq x \leq h_{2}(y, z)\right\}\]

Y las integrales sobre estas regiones se arman:

\[\iiint_{W} f(x, y, z) d V=\iint_{D}\left[\int_{h_{1}(y, z)}^{h_{2}(y, z)} f(x, y, z) d x\right] d A\]

Quizá por ahora todo esto te parezca un poco abstracto o difícil de entender. ¡Así que veamos un ejemplo para poder entender mejor!

Volviendo al ejemplo del principio

Calcule

\[\iiint_{W} z d V\]

Donde \(W\) es el sólido delimitado por \(z=0, z=x^{2}+y^{2}\) dentro del cilindro \(x^{2}+y^{2}=1\).

Paso 1: para tener una noción del sólido, vamos a dibujarlo.

Cuando no recuerdes la figura geométrica representada por la ecuación, intenta despejar los valores de cada variable, en ocasiones puede servir para tener una noción de la representación gráfica, por ejemplo:

\[z=x^{2}+y^{2}\]

Cuando \(x=0 \rightarrow z= y^{2}\) que es una parábola en el plano \(yz\) con punto mínimo en el orígen

Cuando \(y=0 \rightarrow z=x^{2}\) que es la misma parábola solo que en el plano \(xz\)

Para cualquier valor de \(z \geq 0\) tenemos una circunferencia \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

El gráfico de dicha figura (paraboloide) limitado por el cilindro es este:

Ten en cuenta que esta región debe ser escrita como de tipo \(I\), es porque los límites de \(z\) están explícitos en el enunciado:

\[0 \leq z \leq x^{2}+y^{2}\]

Por tanto la integral es:

\[\iint_{D}\left[\int_{0}^{x^{2}+y^{2}} z d z\right] d A\]

Paso 2: veamos la proyección del sólido en el plano \(xy\):

Ten en consideración que, para cualquier tipo de región, luego de escoger los límites de la primera integral, tendremos una integral doble y, para resolverla, tendremos que utilizar alguno de los métodos aprendidos anteriormente (tipo I o tipo II, coordenadas polares, etc). 

En este ejemplo, como tenemos una circunferencia, utilizamos el método de las coordenadas polares. Entonces tenemos:

\[x=r \cos \theta\]

\[y=r \operatorname{sen} \theta\]

\[J=r\]

Con los límites de:

\[0 \leq r \leq 10 \leq \theta \leq 2 \pi\]

Paso 3: resolvemos la integral 

\[\iint_{D}\left[\int_{0}^{x^{2}+y^{2}} z d z\right] d A=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{r^{2}} z d z\right] r d r d \theta\]

Y finalmente obtenemos:

\[\frac{\pi}{6}\]

¡Importante!

A veces la superficie no será como la que vimos. Cuando tengas un término al cuadrado y dicho término esté elevado a la potencia \(1\), quizá el problema sea que la superficie esté movida. ¿Cómo así? Presta atención:

\[z=x^{2}+2 x+y^{2} \rightarrow z+1=(\boldsymbol{x}+1)^{2}+y^{2}\]

Observa que, cuando escribimos el término \((x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1\), añadimos el término \(“1”\) al lado derecho de la ecuación, por tanto, hacemos lo mismo en el lado izquierdo. Si ignoramos el \(1\) la ecuación es un paraboloide. Entonces, la superficie es un paraboloide no centrado en el origen, sino más bien en \(-1,0,-1\).

Cálculo del volumen de sólidos

Una de las aplicaciones de la integral triple es calcular la masa de sólidos. Cuando el enunciado te dice que la densidad de un sólido \(W\) es \(\delta(x, y, z)\) y te pide la masa de dicho sólido, vas a utilizar esta fórmula:

\[M_{t o t a l}=\iiint_{W} \delta(x, y, z) d V\]

Como puedes ver, calcular la masa de un sólido no es más que resolver la integral triple con la función a integrar (integrando) igual a la densidad del sólido. 

¡Vamos a los ejercicios!