Cambio de orden de integración

Boceto de sólidos

¡En esta ocasión vamos a dibujar algunas figuras!

No necesitas ser artista para hacer un buen boceto, el asunto clave está en saber escoger de manera correcta las proyecciones que utilizaremos. De nada sirve trazar todas las curvas si al final no entendemos el sólido que dibujamos. 

Este de aquí es un excelente ejemplo con pocos trazos; en el examen no puedes perder más de 5 minutos dibujando para saber exactamente qué figura estás resolviendo. En este caso un paraboloide \(z=9-x^{2}-y^{2}\)

Escoger las proyecciones convenientes

Vamos a entender cómo escoger las mejores proyecciones para hacer un buen boceto. De forma práctica, el \(99 \%\) de las veces, tendremos mejores curvas cuando el sólido está proyectado en los planos \(x y, x z\) o \(y z\), es decir, cuando tenemos \(z=0\), \(y=0\) y \(x=0\), respectivamente. Ese \(1 \%\) corresponde a el resto de planos. 

Cuando proyectamos un sólido en dichos planos, siempre tendremos curvas bien definidas de dos variables, ¿recuerdas las ecuaciones de los principales tipos de curvas? Recta, parábola, circunferencia, hipérbola, etc. Si no recuerdas bien, démosle un repaso nuevamente.

Recta: en la ecuación de la recta, veremos que ninguno de sus dos términos tienen exponentes  (vamos a escribir \(x\) y \(y\) pero también puede ser \(y\) y \(z\) o \(x\) y \(z\)). Puede estar en la forma explícita:

\[a x+b y+c=0\]

O en la forma implícita:

\[y=a x+b\]

Parábola: tendremos una ecuación de segundo grado común, generalmente:

\[y=a x^{2}+b x+c\]

Circunferencia/Elipse: tendremos dos términos elevados al cuadrado, sumados y divididos por dos constantes:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

Obs: cuando \(a = b\) tenemos una circunferencia de radio. Si \(a \neq b\), tenemos una elipse. 

Hipérbola: también tendremos dos términos elevados al cuadrado, pero restando. De forma general:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

Ejemplos

Podemos observar que el ejemplo al principio del tema está compuesto por tres curvas.

En la primera tenemos: \(z=0\)

\[0=9-x^{2}-y^{2}\]

 \[x^{2}+y^{2}=9 \space  (\operatorname{circunferencia de radio} \space \left.3\right)\]

En la segunda tenemos \(y=0\)

\[z=9-x^{2} \space (\operatorname {parábola})\]

Finalmente, en la tercera curva tenemos \(x=0\)

\[z=9-y^{2} \space (\operatorname {parábola})\]

Simplemente uniendo las tres curvas, obtenemos el sólido mencionado:

¡Y listo! En resúmen, para hacer un buen boceto de sólidos, debemos escoger las curvas indicadas. Generalmente serán las proyecciones sobre los planos cartesianos.

Cambio del orden de integración

Hasta ahora, hemos aprendido a calcular varías integrales triples en regiones cúbicas, regiones generales e incluso realizar el boceto de un sólido. A continuación, vamos a aprender una nueva técnica: el cambio del orden de integración.

Veamos el siguiente ejemplo:

\[\int_{0}^{4} \int_{0}^{1} \int_{2 y}^{2} \frac{2 \cos \left(x^{2}\right)}{\sqrt{z}} d x d y d z\]

Paso 1: observa que, mediante el orden que el ejercicio nos propone, no podemos calcular la integral de \(\cos \left(x^{2}\right)\), por tanto, vamos a invertir dicho orden para ver qué obtenemos. 

“¿Puedo cambiar el orden de integración cuando quiera?” No, te enseñaré cómo y cuándo se hace. 

Primero, necesitaremos un boceto del sólido.

Por los límites de las integrales sabemos que:

\[2 y \leq x \leq 2\]

\[0 \leq y \leq 1\]

\[0 \leq z \leq 4\]

Entonces el sólido es:

Paso 2: si la dificultad es integrar \(x\), intentaremos integrar otra variable para ver si resulta más fácil. Entonces, vamos a invertir el orden de integración para \(d y d x d\), de esta forma, vamos a integrar \(y\) antes que \(x\).

Para hacer esto, tendremos que redefinir los intervalos de integración. Ten en cuenta que tenemos un plano \(x=2y\), podemos escribirla nuevamente como:

\[y=\frac{x}{2}\]

Gráficamente el intervalo en el plano \(xy\) es:

De esa forma, tenemos que

\[0 \leq y \leq \frac{x}{2}, \quad 0 \leq x \leq 2\]

En este caso no necesitamos cambiar nada de \(z\), por tanto, su intervalo sigue siendo:

\[0 \leq z \leq 4\]

Paso 3: reescribiendo la integral

\[\int_{0}^{4} \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{2 \cos \left(x^{2}\right)}{\sqrt{z}} d y d x d z\]

Paso 4: integrando en \(y\)

\[\int_{0}^{4} \int_{0}^{2} \frac{2 \cos \left(x^{2}\right)}{\sqrt{z}}\left[y_{y=0}^{y=\frac{x}{2}} d x d z=\int_{0}^{4} \int_{0}^{2} \frac{x \cos \left(x^{2}\right)}{\sqrt{z}} d x d z\right.\]

Paso 5: ahora podemos integrar en \(x\). Haciendo la sustitución de 

\[x^{2}=u \rightarrow 2 x d x=d u \rightarrow x d x=\frac{d u}{2}\]

\[=\frac{1}{2} \int_{0}^{4} \int_{x=0}^{x=2} \frac{\cos u}{\sqrt{z}} d u d z=\frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{z}}\left[\operatorname{sen} x^{2}\right]_{x=0}^{x=2} d z=\int_{0}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{z}} \operatorname{sen} 4 d z\]

Paso 6: integrando en \(z\)

\[=\operatorname{sen} 4[\sqrt{z}]_{z=0}^{z=4}=\operatorname{sen} 4[\sqrt{4}-\sqrt{0}]=2 \operatorname{sen} 4\]

¡Ves, es fácil! Algunos ejercicios te van pedir algo así: “invertir el orden de integración de \(d x d y d z\) a \(d z d x d y\)”. Para hacerlo debemos seguir estos pasos:

Paso 1: reconocer los límites del sólido dado y trazar el gráfico

Paso 2: debes utilizar el mejor tipo de integración \((I, II \text{ o } III)\), o utilizar el que la pregunta te pide, y determinar los nuevos límites.

Paso 3: reescribir y calcular la integral. 

¡Vamos a los ejercicios!