Cambio a coordenadas cilindricas

Definición

Si entiendes bien lo que son las coordenadas polares, te encantarán las cilíndricas (ok, tal vez no tanto...). Las coordenadas cilíndricas son básicamente la extensión de los polares pero en tres dimensiones. Veamos la explicación:

Agregaremos al sistema de coordenadas \((r, \theta)\) una altura que llamaremos \(z\):

Ten en cuenta que, viendo el gráfico “anterior”, tenemos un punto descrito en coordenadas polares. 

De esta manera, podemos localizar un punto en el espacio proporcionando las coordenadas polares de su proyección en el plano \(x y\) y el valor de \(z\), la altura del punto. Entonces, tendremos puntos \((r, \theta, z)\).

La coordenada \(r\) también puede ser vista como la distancia horizontal hasta el eje \(z\), medida perpendicularmente a dicho eje. 

Cambio a coordenadas cilindricas

El cambio a coordenadas cilindricas es parecido a el de las polares, tendremos:

\[x=r \cos \theta\]

\[y=r \operatorname{sen} \theta\]

\[z=z\]

El Jacobiano de dicha transformación será dado por:

\[J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\left|\begin{array}{lll}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z}\end{array}\right|=r\]

Normalmente, utilizamos estos cambios cuando tenemos una simetría en relación a un eje. 

Veamos un ejemplo. Vamos a determinar el volumen del sólido \(E\), que está contenido en el cilíndro \(x^{2}+y^{2}=1\), abajo del plano \(z=4\) y arriba del paraboloide \(z=1-x^{2}-y^{2}\).

Lo primero que debemos hacer es intentar trazar la región del enunciado. Para este ejemplo, tenemos algo parecido a esto:

Observa que el paraboloide está al revés (los términos que multiplican \(x^{2}\) y \(y^{2}\) son negativos).

¿Puedes ver que existe simetria en relación al eje \(x\)? Entonces, vamos a utilizar el cambio a coordenadas cilindricas:

\[x=r \cos \theta\]

\[y=r \operatorname{sen} \theta\]

\[z=z\]

\[J=r\]

Ahora, vamos a descubrir los intervalos de integración. Para ello, debemos introducir los cambios en las ecuaciones dadas para la frontera. Para el cilindro tendremos

\[x^{2}+y^{2}=1 \rightarrow r=1\]

Entonces, tenemos \(0 \leq r \leq 1\)

Haciendo la sustitución en la ecuación del parabolodide.  

\[z=1-x^{2}-y^{2} \rightarrow z=1-(r \cos \theta)^{2}-(r \operatorname{sen} \theta)^{2}\]

\[z=1-r^{2}\]

Ese es el límite inferior de \(z\), el superior es el plano \(z=4\)

Falta la variable \(\theta\). Una vez que el sólido está envuelto en el eje \(z\), tenemos que \(\theta\) varía entre \(0\) y \(2\pi\). Por tanto, podemos escribir la región \(E\) como:

\[E=\left\{(r, \theta, z) \mid 0 \leq r \leq 1 ; 0 \leq \theta \leq 2 \pi ; 1-r^{2} \leq z \leq 4\right\}\]

A continuación, vamos a sustituir los intervalos que encontramos en la integral iterada (NO OLVIDES EL JACOBIANO):

\[\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{1-r^{2}}^{4} r d z d r d \theta\]

Integramos como estamos acostumbrados y obtenemos:

\[\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{1-r^{2}}^{4} r d z d r d \theta=\frac{7 \pi}{2}\]

¿Todo claro? ¡Vamos a los ejercicios! Debes seguir el mismo patrón que vimos en todos los ejercicios de cambio de variables: identifica la región, hacer el cambio a coordenadas cilindricas, escribir la región en dichas coordenadas (es decir, ver como varían en \(r, \theta\) y \(z\)) y finalmente reescribir la integral sin olvidar el Jacobiano. ¡Luego, simplemente resolvemos la integral!