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Cambio a coordenadas esféricas

Definición

 

En esta ocasión vamos a aprender un sistema de coordenadas especialmente útil cuando hablamos de integrales triples: las coordenadas esféricas. Antes de hacer sustituciones, es importante que entiendas de manera correcta a cómo describir un punto en este sistema. 

 

En coordenadas cartesianas, localizamos un punto al proporcionar tres valores: \(x, y\) y \(z\), ¿verdad? En cilíndricas, como debes saber, las coordenadas son: \(r, \theta\) y \(z\), lo que se asemeja un poco con las polares. Ahora, vamos a definir otras coordenadas para describir el mismo punto: \(\rho, \theta\) y \(\varphi\). Observemos el siguiente gráfico:

 

 

Como se puede apreciar, la coordenada \(\rho\) representa la distancia entre el punto y el origen \((0,0,0)\), por tanto, \(\rho \geq 0\). Cuidado de no confundir con \(“r”\) de las coordenadas cilíndricas, que es la distancia horizontal entre el punto y el eje \(z\).

 

El ángulo \(\theta\) es el mismo que vimos para las coordenadas cilíndricas, es medido entre la proyección del punto en el plano \(x y\) y el eje \(x\). Entonces, tenemos \(0 \leq \theta \leq 2 \pi\).

 

En este caso, la gran novedad es el ángulo \(\varphi\). Este es medido entre \(\rho\) (el segmento que une al punto con el origen) y la parte positiva del eje \(z\), es decir, la parte “de arriba”. Por tanto, \(0 \leq \varphi \leq \pi\).

 

Analicemos algunas formas geométricas especiales. 

 

¿Qué superficie es generada con la ecuación \(\rho=a\) en las coordenadas esféricas? Esta es una ecuación independiente de \(\theta\) y de \(varphi\), por tanto, tenemos \(\rho=a\) para cualquier valor de esos ángulos. ¿No es esa la definición exacta de una esfera de radio \(a\)? Entonces, es así como describimos una esfera en coordenadas esféricas. Este sistema es mucho más simple en comparación con todos los que hemos visto hasta ahora. Entonces tenemos:

 

\[\text {Esfera}=\{(\rho, \theta, \varphi) \mid 0 \leq \rho \leq a ; 0 \leq \theta \leq 2 \pi ; 0 \leq \varphi \leq \pi\}\]

 

 

Ahora, vamos a tomar la ecuación \(\theta=\theta_{o}\), independiente tanto de \(\rho\) como \(\varphi\). Esa expresión genera un plano que forma un ángulo \(\theta_{o}\) con el eje \(x\), mira:

 

 

¿Y si tuviéramos \(\varphi =\varphi_{o}\)? Esa es una ecuación independiente de \(\theta\) y \(\rho\), es decir, tenemos el conjunto de los puntos que forman el ángulo \(\varphi_{o}\) con el eje \(z\), alrededor de dicho eje. Si el ángulo \(\varphi_{o}\) es del \(1^{º}\) cuadrante, entonces, tenemos un cono:

 

 

Cambio a coordenadas esféricas

 

Ya entendimos el concepto de este sistema coordinado, por tanto, es hora de que aprendamos a traducir las ecuaciones en coordenadas cartesianas a esféricas. Vamos a deducir la relación mediante el siguiente gráfico:

 

 

Podemos ver que, \(x=r \cos \theta\) y \(y=r \operatorname{sen} \theta\) (tal como en las coordenadas cilíndricas). Sin embargo, no queremos expresiones en función de \(r\), sino de \(\rho\).

 

Entonces, tenemos que \(r=\rho \operatorname{sen} \varphi\) (cateto opuesto al ángulo \(\rho\)). Entonces, vamos a sustituir este valor en las expresiones anteriores:

 

\[x=\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta\]

 

\[y=\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta\]

 

Como \(z\) es el cateto adyacente al ángulo \(\varphi\), tenemos:

 

\[z=\rho \cos \varphi\]

 

Esas son las ecuaciones que utilizaremos en el cambio de coordenadas polares. Como en todas las sustituciones que hacemos, debemos calcular su Jacobiano:

 

\[J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \varphi)}=\left|\begin{array}{ccc}\operatorname{sen} \varphi \cos \theta & -\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta & \rho \cos \varphi \cos \theta \\ \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta & \rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \operatorname{sen} \theta \\ \cos \varphi & 0 & -\rho \operatorname{sen} \varphi\end{array}\right|=-\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi\]

 

\[|J|=\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi\]

 

¡Memoriza esta expresión!

 

¿Bien?

 

Probemos la transformación. Tomemos como ejemplo \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\), una esfera de radio \(1\).

 

Haciendo la sustitución, \(x=\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta, y=\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta\) y \(z=\rho \cos \varphi\), tendremos:

 

\[(\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta)^{2}+(\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta)^{2}+(\rho \cos \varphi)^{2}=1\]

 

\[\left(\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi\right) \cos ^{2} \theta+\left(\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi\right) \operatorname{sen}^{2} \theta+\rho^{2} \cos ^{2} \varphi=1\]

 

\[\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi+\rho^{2} \cos ^{2} \varphi=1\]

 

\[\rho=1\]

 

Listo, la ecuación de la esfera se resume a \(\rho=1\) en las coordenadas esféricas. 

 

Tip: las coordenadas esféricas simplifican superficies que tienen simetría con respecto a un punto, como esferas y conos.

 

Importante: de la misma forma que en las coordenadas cilíndricas, donde podíamos encontrar cilindros con bases elípticas, en este caso podemos encontrar elipsoides, que son “esferas” con coeficientes de \(x^{2}, y^{2}\) y \(z^{2}\) diferentes entre sí. Entonces, haremos lo mismo que hemos hecho hasta ahora: sustituciones con coeficientes diferentes, por ejemplo:

 

\(x=2 \rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta, y=\sqrt{3} \rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta\) y \(z=\rho \cos \varphi\)

 

No olvides ajustar el Jacobiano, multiplicandolo por estos coeficientes: \(|J|=2 \sqrt{3} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi\).

 

Ejemplo: calcule \(\iiint_{B} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} d x d y d z,\) donde \(B\) es la bola unitaria:

 

\[B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}\]

 

Paso 1: trazar la región del enunciado.

 

Paso 2: necesitamos escribir matemáticamente la región. Como \(B\) es limitada por un esfera y la función a ser integrada posee términos cuadráticas, utilizaremos coordenadas esféricas:

 

\[x=\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta\]

 

\[y=\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta\]

 

\[z=\rho \cos \varphi\]

 

\[|J|=\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi\]

 

La región de integración pasa a ser:

 

\[B=\{(\rho, \theta, \varphi) \mid 0 \leq \rho \leq 1 ; 0 \leq \theta \leq 2 \pi ; 0 \leq \varphi \leq \pi\}\]

 

Paso 3: vamos a sustituir los intervalos que encontramos en la integral iterada. Sabemos que \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\) en coordenadas esféricas. Entonces, tenemos:

 

\[\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} e^{\left(\rho^{2}\right)^{3 / 2}} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi=\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} e^{\rho^{3}} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi\]

 

Paso 4: haciendo la sustitución \(\rho^{3} =u\), tenemos \(3\rho^{2}d\rho=du\). La integral pasa a ser:

 

\[=\frac{1}{3} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} e^{u} \operatorname{sen} \varphi d u d \theta d \varphi=\]

 

\[=\left.\frac{1}{3} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \operatorname{sen} \varphi e^{u}\right|_{u=0} ^{u=1} d \theta d \varphi=\]

 

\[=\frac{1}{3} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \operatorname{sen} \varphi(e-1) d \theta d \varphi=\]

 

Paso 5: integramos en relación a \(\theta\):

 

\[=\left.\frac{(e-1)}{3} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} \varphi \theta\right|_{\theta=0} ^{\theta=2 \pi} d \varphi=\]

 

\[=\frac{2 \pi(e-1)}{3} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} \varphi d \varphi=\]

 

Paso 6: finalmente, integramos en relación a \(\varphi\):

 

\[=-\left.\left(\frac{2 \pi(e-1)}{3}\right) \cos \varphi\right|_{0} ^{\pi}=\]

 

\[=-\left(\frac{2 \pi(e-1)}{3}\right)(-1)-\left[-\left(\frac{2 \pi(e-1)}{3}\right)\right]=\]

 

\[=\frac{2 \pi(e-1)}{3}+\frac{2 \pi(e-1)}{3}=\frac{4 \pi(e-1)}{3}\]

 

¡Genial, vamos a los ejercicios! Siguiendo el mismo patrón de los ejercicios de cambios de variables: debes reconocer la región, hacer el cambio a coordenadas esféricas, escribir la región en dichas coordenadas (encontrar los intervalos de \(\rho, \theta\) y \(\varphi\)) y entonces reescribimos la integral (sin olvidar el Jacobiano). ¡Y finalmente, integramos!

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