Alteración en el cambio de variables

Desplazamientos en los cambios

 

¡Bienvenidos, espero que estén bien!

 

Imagina que la región de integración es la siguiente esfera:

 

\[(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=1\]

 

 

Primero, vamos a intentar la sustitución esférica normal:

 

\[x=\rho \operatorname{sen} \varphi \cos , y=\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta, z=\rho \cos \varphi\]

 

Llevando eso a la esfera:

 

\[(\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta-1)^{2}+(\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta)^{2}+(\rho \cos \varphi)^{2}=1\]

 

\[\left(\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi\right) \cos ^{2} \theta-2 \rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta+1+\left(\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi\right) \operatorname{sen}^{2} \theta+\rho^{2} \cos ^{2} \varphi=1\]

 

\[\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi+\rho^{2} \cos ^{2} \varphi-2 \rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta+1=1\]

 

\[\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi+\rho^{2} \cos ^{2} \varphi=2 \rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta\]

 

\[\rho^{2}=2 \rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta \rightarrow \rho=2 \operatorname{sen} \varphi \cos \theta\]

 

Esa expresión es un poco aburrida, ¿verdad? Ahora vamos a intentar hacer esta sustitución:

 

\[x=\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta+1, y=\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta, \quad z=\rho \cos \varphi\]

 

Mira lo que ocurre:

 

\[(\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta+1-1)^{2}+(\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta)^{2}+(\rho \cos \varphi)^{2}=1\]

 

\[(\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta)^{2}+(\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta)^{2}+(\rho \cos \varphi)^{2}=1\]

 

\[\left(\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi\right) \cos ^{2} \theta+\left(\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi\right) \operatorname{sen}^{2} \theta+\rho^{2} \cos ^{2} \varphi=1\]

 

\[\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \varphi+\rho^{2} \cos ^{2} \varphi=1 \rightarrow \rho=1\]

 

¿Viste que la esfera volvió a ser una expresión divertida? Lo que hicimos fue cambiar el centro de las coordenadas esféricas hacia el centro de la esfera \((1,0,0)\). Entonces, la distancia de los puntos de la esfera al (nuevo) origen pasa a ser constante y su expresión pasa a ser \(\rho=r a d i o\).

 

¿Cómo lo hicimos? Sumando las coordenadas del centro de la esfera en las variables del cambio esférico. Básicamente, tenemos que sumar números a \(x, y\) y \(z\) que cancelen las constantes “sueltas” en los términos cuadráticos de la ecuación. Resumiendo, es lo siguiente:

 

Para una esfera del tipo

\[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r a d i o^{2}\]

 

Generalmente, haremos el cambio

 

\[x=\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta+a\]

 

\[y=\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta+b\]

 

\[z=\rho \cos \varphi+c\]

 

La esfera pasará a ser escrita como \(\rho = radio\). Puedes hacer el cambio para comprobar. 

 

Bien, ¿pero qué pasa con el Jacobiano?

 

¿Recuerdas que el Jacobiano es calculado a través de las derivadas parciales de los términos del cambio? ¿Pero acaso la derivada de una constante no es cero? Exacto, entonces todos los términos \(a, b\) y \(c\) van a desaparecer. Por tanto: siempre que sumamos o restamos constantes en un cambio de variables, su Jacobiano no se ve alterado. Entonces:

 

\[|J|=\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi\] 

 

Ya que hablamos de las coordenadas esféricas, también hablemos de las cilíndricas. Siguiendo el mismo razonamiento, cuando encontramos un cilindro desplazado del origen:

 

\[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\operatorname{radio}^{2}\]

 

 

Podemos hacer el cambio cilíndrico:

\[x=r \cos \theta+a\]

 

\[y=r \operatorname{sen} \theta+b\]

 

\[z=z\]

 

\[|J|=r\]

 

Eso nos da:

 

\[(r \cos \theta+a-a)^{2}+(r \operatorname{sen} \theta+b-b)^{2}=\operatorname{radio}^{2} \rightarrow r=\operatorname{radio}\]

 

Nuevamente, el Jacobiano no se altera. De esta forma, la distancia de los puntos del cilindro al eje \(z\) pasa a ser constante y este pasa a ser escrito como \(r=r a d i o\).

 

Recapitulando: cuando encuentres regiones que parezcan perfectas para el cambio esférico o cilíndrico, más sin embargo, no están centradas en el origen, a veces vale la pena hacer estos cambios con el centro desplazado. Pero mucho cuidado: no solo por tener una superficie desplazada vale la pena hacerlo. En general, utilizamos este proceso cuando toda la región/superficie se centra en algún eje o punto. 

 

Cambio de ejes

 

Tendremos la siguiente situación

 

Ya que es un cilindro, vamos a utilizar coordenadas cilíndricas:

 

\[x=r \cos \theta, \quad y=r \operatorname{sen} \theta, \quad z=z, \quad|J|=r\]

 

Llevando esto a la ecuación del cilindro:

\[y^{2}+z^{2}=1\]

 

\[(r \operatorname{sen} \theta)^{2}+z^{2}=1\]

 

Ahora, en las ecuaciones de los planos:

 

\[x=1=r \cos \theta\]

 

\[x=2=r \cos \theta\]

 

¡Todo salió horrible! ¿Pero por qué?

 

Esto se debe a que las coordenadas cilíndricas se definen con simetría en relación al eje \(z\), mira:

 

 

Entonces, las superficies que tienen simetría en dicho eje tienden a ser más simples cuando son escritas es estas coordenadas. Pero, el cilindro del ejemplo está “acostado” con simetría en el eje \(x\), por eso no pudimos agrupar términos en el cambio y su expresión salió mal.

 

Entonces, ¿no podemos hacer nada? ¿no usamos el cambio? Claro que no, solamente vamos a utilizar un cambio cilíndrico diferente. 

 

Vamos a crear un cambio cilíndrico que tenga simetría en \(x\). Cuando la simetría era en \(z\), la única coordenada que no se alteraba era esta:

 

\[x=r \cos \theta, \quad y=r \operatorname{sen} \theta, \quad z=z\]

 

Entonces, la coordenada que ahora no se va a alterar es \(x\): es como si el eje \(x\) se “convirtiera” en el eje \(z\). Entonces, tendremos:

 

\[y=r \cos \theta, \quad z=r \operatorname{sen} \theta, \quad x=x\]

 

Listo, ese es el cambio. Este es un truco para que no te confundas. El Jacobiano no cambia:

 

\[|J|=r\]

 

Intentemos hacer ese nuevo cambio en las superficies:

 

\[y^{2}+z^{2}=1\]

 

\[(r \cos \theta)^{2}+(r \operatorname{sen} \theta)^{2}=1\]

 

\[r^{2}=1 \rightarrow r=1\]

 

Ahora, en las ecuaciones de los planos:

\[x=1\]

 

\[x=2\]

 

Entonces, la región es definida por \(0 \leq r \leq 1,0 \leq \theta \leq 2 \pi\) y \(1 \leq x \leq 2\).

 

Fácil, ¿verdad?

 

Recordando que, como definimos las coordenadas cilíndricas con simetría en \(x\), el radio \(r\) es marcado a partir de dicho eje y el ángulo \(\theta\) es marcado alrededor del mismo (en el plano \(yz\)). Es como si \(x\) fuera el nuevo \(z\).

 

Cambios con denominadores diferentes

 

Digamos que necesitas calcular una integral triple al interior de la región:

 

\[4 x^{2}+y^{2}=1\]

 

Es un cilindro de sección elíptica:

 

 Ya que es un cilindro, vamos a utilizar coordenadas elípticas.

 

\[x=r \cos \theta, \quad y=r \operatorname{sen} \theta, \quad z=z\]

 

Si sustituimos en la ecuación del cilindro todo saldrá mal; porque el cilindro no será \(r=radio\) como estamos acostumbrados a ver. ¿Por qué? Porque este no tiene sección circular. Entonces, en el cambio de variables los términos no se agruparán bien, debido al coeficiente \(4\) en \(x^{2}\).

 

¿Y si pudiéramos deshacernos de ese coeficiente? Mira lo que sucede cuando hacemos esa sustitución:

 

\[x=\frac{1}{2} r \cos \theta, \quad y=r \operatorname{sen} \theta, \quad z=z\]

 

\[4\left(\frac{1}{2} r \cos \theta\right)^{2}+(r \operatorname{sen} \theta)^{2}=1\]

 

Llevándolo al cilindro:

 

\[r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta=1\]

 

\[r^{2}=1 \rightarrow r=1\]

 

¿Viste que el \(1/2\) que agregamos al cambio canceló el coeficiente \(4\)? Entonces la expresión del cilindro quedó mejor. Es como si hubiéramos "transformado" su sección en circular.

 

¿Y qué pasa con el Jacobiano del cambio? Este coeficiente va para él

 

\[|J|=\frac{1}{2} r\]

 

Este tipo de cambio puede ser de muy útil cuando tenemos cilindros de sección elíptica, pues hace que el radio pase a ser constante, lo que simplifica muchas cosas. Claro que tenemos que hacer el mismo cambio en todas las superficies que estén limitando la región. A partir de este punto, la cuestión se convierte en un problema cualquiera de integrales triples. 

 

Entonces, cuando tenemos un cilindro del tipo:

 

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

 

Podemos pensar en el cambio:

\[x=a r \cos \theta\]

 

\[y=b r \operatorname{sen} \theta\]

 

\[z=z\]

 

\[|J|=a b r\]

 

Veamos un último caso. Cuando tenemos un elipsoide del tipo:

 

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

 

 

Se parece mucho a una esfera, ¿verdad? Sin embargo, si intentamos la sustitución esférica vamos a encontrar una expresión un poco rara que ni siquiera vimos con el cilindro. Eso porque, el radio de la superficie no es constante. 

 

Pero si hacemos una sustitución del tipo:

 

\[x=a \rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta\]

 

\[y=b \rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta\]

 

\[z=c \rho \cos \varphi\]

 

\[|J|=a b c \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi\]

 

Los coeficientes del elipsoide van a “desaparecer” y encontramos una \(\rho\) constante. 

 

Esto porque los coeficientes que agregamos al cambio esférico van a cancelar los coeficientes del elipsoide, “transformándolo” en la esfera \(\rho=1\). Recordando que todos los coeficientes van al Jacobiano. 

 

¿Entendido? Así que cuando encuentres un elipsoide puedes pensar en hacer este tipo de cambio esférico. El resto de la pregunta es el mismo paso a paso de siempre.

 

¡Vamos a los ejercicios!

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