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Calculisto

Valores medios en sólidos

Definición

 

Llegado a este punto somos capaces de resolver diferentes tipos de problemas relacionados a las integrales triples, por tanto, veamos algunas de sus aplicaciones. 

 

En física, a menudo calculamos las temperaturas medias de algunos objetos, por ejemplo, una barra cuya temperatura varía linealmente de \(T_{\min }=0^{\circ} C\) a \(T_{\max }=100^{\circ} \mathrm{C}\, \text { tiene una temperatura media de }\) \(50^{\circ}\).

 

¿Y si queremos calcular las temperaturas de objetos con formas más complejas? Supongamos que tenemos una placa de dimensiones \(10 \mathrm{cm} \times 10 \mathrm{cm} \times 1 \mathrm{cm}\) y sabemos que la temperatura en dicha placa varía por la función \(f(x, y, z)=x y z\), ¿cómo podríamos calcular su temperatura media?

 

 

Como puedes ver, no se trata de un ejemplo cualquiera donde la temperatura varía linealmente, por tanto, tendremos un poco más de trabajo. 

 

Para resolver este problema utilizaremos un nuevo concepto, la Teoría del Valor Medio, la cual dice que el valor medio de cualquier función \(f(x, y, z)\) sobre una región \(D\) puede ser descrito por:

 

\[\text {Valor Medio}=\frac{1}{\text {Volumen de } D} \iiint_{D} f(x, y, z) d V\]

 

Básicamente, cuando hacemos esto tomamos una media ponderada basada en el volumen de la región, es decir, si \(99\%\) del volumen del objeto tuviera una temperatura de \(10^{\circ}C\), la temperatura calculada por la integral del valor medio debe ser muy cercana a \(10^{\circ}C\) (tiene sentido, ¿no?)

 

Volviendo al ejemplo, aplicaremos la fórmula del valor medio, mostrando el paso a paso para este tipo de problemas:

 

Ejemplo

 

Tenemos un placa con dimensiones \(10 \mathrm{cm} \times 10 \mathrm{cm} \times 1 \mathrm{cm}\), cuya temperatura varía de acuerdo con \(f(x, y, z)=x y z\) y queremos calcular su temperatura media. 

 

Paso 1:

 

Lo primero que hacemos es organizar los datos dados por el enunciado. En este caso no fueron muchos, entonces, vamos a la integral del valor medio:

 

\[\text {Valor Medio}=\frac{1}{\text {Volumen de } D} \iiint_{D} f(x, y, z) d V\]

 

Paso 2:

 

Vamos a definir los límites de integración de la región \(D\). Por ser un paralelepipedo, todos sus límites son planos:

 

\[x=0 \space \text{ y } \space x=10\]

 

\[y=0 \space \text  { y } \space y=10\]

 

\[z=0 \space \text { y } \space z=1\]

 

Por tanto:

 

\[\left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 10 \\ 0 \leq y \leq 10 \\ 0 \leq z \leq 1\end{array}\right.\]

 

Paso 3:

 

Entonces, debemos calcular el volumen de la región \(D\). Tenemos dos situaciones:

 

Si \(D\) es una figura geométrica fácil (paralelepipedo, cubo, cilindro, etc.) como en el problema, se puede calcular a través de las fórmulas matemáticas de volumen conocidas. En este caso:

 

\[V_{D}=V_{\text {Paralelepipedo}}=a b c=10.10 .1\]

 

\[V_{D}=100 \mathrm{cm}^{3}\]

 

Si \(D\) es una forma más complicada, que no podemos descubrir mediante las fórmulas, tendremos que utilizar el concepto de volumen por la integral triple. Donde:

 

\[V_{D}=\iiint_{D} 1 d V\]

 

Paso 4:

 

Juntamos todo y resolvemos la integral

 

\[\text {Valor Medio}=\frac{1}{100} \int_{0}^{1} \int_{0}^{10} \int_{0}^{10} x y z d x d y d z=\]

 

\[=\frac{1}{100} \int_{0}^{1} \int_{0}^{10} y z\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{10} d y d z=\frac{1}{100} \int_{0}^{1} \int_{0}^{10} 50 y z d y d z=\]

 

\[=\frac{50}{100} \int_{0}^{1} z\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{10} d z=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} 50 z d z=\]

 

\[=25\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=25 .\left(\frac{1}{2}\right)=12,5\]

 

\[\text {Valor Medio}=12,5\]

 

Obs: ten en cuenta que, como estamos buscando la temperatura media, el resultado final debe estar entre la temperatura máxima y mínima de la placa.

 

\[f_{\min } \leq \space \text{ Valor Medio } \space \leq f_{\max }\]

 

 

Siempre que sea posible podemos verificar la respuesta para asegurarnos que sea correcta. En este ejemplo:

 

\[T_{\min }=0\]

 

\[T_{\max }=100\]

 

De hecho, el resultado está entre \(T_{\min }\) y \(T_{\max}\)

 

Resumiendo, el paso a paso es:

 

Paso 1: armar el problema

 

Paso 2: definir los límites de integración

 

Paso 3: calcular el volumen de \(D\)

 

Paso 4: resolver la integral

 

Fácil, ¿verdad? ¡Vamos a los ejercicios para practicar!

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