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Momento de inercia y Radio de rotación de sólidos

Como hemos visto para las regiones planas, el momento de inercia (o segundo momento) de una partícula en relación a un eje se define como \(m r^{2}\), donde \(m\) es la masa de la partícula  y \(r\) es la distancia entre dicho eje y la partícula. 

 

Llevando este concepto a tres dimensiones, podemos definir el momento de inercia de una región sólida \(V\) con densidad de masa \(\delta(x, y, z)\). Para calcular el momento en relación al eje \(x\), la distancia de los puntos a ese eje será dada por \(\sqrt{y^{2}+z^{2}}\). Por tanto, tenemos:

 

\[I_{x}=\iiint_{V}\left(\sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)^{2} d m=\iiint_{V}\left(y^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d V\]

 

Para el momento de inercia en relación a \(y\), la distancia pasa a ser \(\sqrt{x^{2}+z^{2}}\)

 

\[I_{y}=\iiint_{V}\left(x^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d V\]

 

Para el momento en relación a \(z\), tenemos:

 

\[I_{z}=\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \delta(x, y, z) d V\]

 

Para que sea más fácil recordar cuáles coordenadas sumamos al cuadrado en cada momento, recuerda que la coordenada del eje siempre es la que no aparece. Ejemplo: momento de inercia en relación al eje \(x\), sumamos \(y^{2}+z^{2}\).

 

Entonces, básicamente: cuando un problema te pide calcular el momento de inercia de una región sólida en relación a un eje \((x, y\) o \(z)\), vas a aplicar esas fórmulas y obtener una integral triple. A partir de ese punto, vas a resolver usando todos los conceptos de la integral triple que has visto hasta aquí (cambio esférico, cilíndrico, etc…).

 

Es como una integral cualquiera. Memoriza las fórmulas, porque este es el primer paso de este tipo de cuestiones. Vas a aplicar la fórmula, armar la integral y resolverla. Veamos un ejemplo. 

 

Ejemplo: encuentre el momento de inercia en relación al eje \(z\) del cubo con longitud de lado de \(2\), un vértice localizado en el orígen, tres aristas en los ejes coordenados y densidad constante \(k\).

 

Paso 1: como sabemos, el momento de inercia de un sólido \(W\) en relación al eje \(z\) es dado por:

 

\[I_{z}=\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho(x, y, z) d V\] 

 

Donde \(\rho(x, y, z)\) es la función de densidad. Sin embargo, como indica el problema, la densidad es dada por una constante \(k\), entonces:

 

\[I_{z}=k \iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V\]

 

Paso 2: vamos a escribir matemáticamente la región.

Bien, como se trata de un cubo, no es complicado describir la región, todos los límites de integración son números:

 

\[I_{z}=k \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d x d y\]

 

Paso 3: resolvemos

 

\[I_{z}=\left.k \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} z\left(x^{2}+y^{2}\right)\right|_{0} ^{2} d x d y\]

 

\[I_{z}=2 k \int_{0}^{2} \int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y\]

 

\[I_{z}=2 k \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{3}+\left.x y^{2}\right|_{0} ^{2} d y\]

 

\[I_{z}=\left.2 k\left(\frac{8 y}{3}+\frac{2 y^{3}}{3}\right)\right|_{0} ^{2}\]

 

\[I_{z}=2 k\left(\frac{16}{3}+\frac{16}{3}\right)\]

 

\[I_{z}=\frac{64 k}{3}\]

 

Radio de rotación

 

Acabamos de aprender a calcular el momento de inercia de un sólido, ¿verdad? Pues existe una propiedad física de sólidos asociada al segundo momento llamada: radio de rotación.

 

El radio de rotación, a su vez, es la distancia en relación a un eje en la cual podemos concentrar toda la masa del cuerpo, de tal forma que tendremos el mismo momento lineal en dicho eje. Por ejemplo, \(R_{x}\) es la distancia al eje \(x\) que un punto con toda la masa del objeto resulta en el mismo \(I_{x}\).

 

La explicación es abstracta, pero no te preocupes. Solamente tendrás que aplicar una fórmula en este tipo de cuestiones. 

 

Las fórmulas que usaremos para calcular el radio de rotación en relación a los ejes son estas:

 

En relación al eje \(x\):

\[R_{x}=\sqrt{\frac{I_{x}}{M}}\]

 

En relación al eje \(y\):

\[R_{y}=\sqrt{\frac{I_{y}}{M}}\]

 

En relación al eje \(z\):

\[R_{z}=\sqrt{\frac{I_{z}}{M}}\]

 

También podemos hallar el radio de rotación en relación al orígen:

 

\[R_{0}=\sqrt{\frac{I_{0}}{M}}\]

 

¡Vamos a los ejercicios!

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