Introducción a las Ondas

¿Qué son las ondas?

Si lanzas una piedrita en un lago, notarás una perturbación en la superficie. Después de un tiempo, notaras que la misma cantidad de agua que había en el lago continúa allí.

Esa es la idea principal sobre las ondas: Llevan energía (lo que causó la perturbación) pero no materia (por lo que la cantidad de masa del lago permanece constante).

Onda mecánica o electromagnética?

Existen distintos tipos de ondas y diferentes formas de agruparlas. La primera forma de agruparlas es por el medio de propagación. Básicamente:

Ondas mecánicas: necesitan un medio material para propagarse. Ej: Sonido, ondas sísmicas (terremotos), olas del mar.

Ondas electromagnéticas: No necesitan un medio para propagarse. Ej: Luz, ondas de radio, microondas.

Es por eso que la luz del sol puede viajar desde muy lejos, pero no podemos oír nada del espacio. O sea, esos sonidos de las explosiones de Star Wars son todos falsos, ya que en el espacio no hay materia para que el sonido se propague. :(

Onda transversal o longitudinal?

Ahora vamos a ver una forma de diferenciar las ondas dependiendo su dirección de propagación:

1. Ondas transversales: las oscilaciones son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo, la luz.

1. Ondas longitudinales: las oscilaciones son paralelas a la dirección de propagación de la onda (misma dirección). Por ejemplo, el sonido.

Ondas armónicas

Esta es, por lejos, el tipo de onda más importante, y seguramente la que más veas en tu examen.

Onda armónica es cualquier onda que pueda ser descrita por un simple seno o por un simple coseno.

La ecuación de la onda armónica es la siguiente (en este caso elegimos a coseno arbitrariamente):

\(y=A \cos [k x \mp \omega t+\phi]\)

Donde:

\(A\) es la amplitud;

\(k\) es el número de onda.

\(k=\frac{2 \pi}{\lambda}\)

Donde \(\lambda\) es la longitud de onda, que significa el espacio recorrido por la onda en un período.

 \(v\) es la velocidad de la onda:

\(\omega=2 \pi f=\frac{2 \pi}{T}\)

\(\phi\) es la constante de fase.

Y en cuanto al signo que viene antes de \(w t\)? Cómo podemos saber si es \(+\) o \(-\)?

Simple, usamos \(+\) si la onda se está propagando en sentido negativo del eje \(x\), y \(-\) si va en sentido positivo.

Relación \(\omega\), \(k\) y \(v\)

Esta relación es muy importante. Y se deduce fácilmente:

\(v=\lambda f\)

\(v=\lambda f=\frac{2 \pi f}{\frac{2 \pi}{\lambda}}\)

\(v=\frac{\omega}{k}\)

Velocidad y Aceleración de un punto de la cuerda

Cada punto de la cuerda oscila de arriba a abajo a medida que la onda se expande hacia un lado, ¿verdad?

Entonces, cómo calcular la velocidad en la dirección \(y\)?

¡Fácil! Es sólo derivar en el tiempo:

\(v_{y}=\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}[A \cos (k x \pm \omega t+\phi)]\)

\(v_{y}=\mp \omega A \operatorname{sen}(k x \pm \omega t+\phi)\)

Tenga en cuenta que, como el seno varía de -1 a +1, la velocidad varía entre \(-\omega A \leq v_{y} \leq+\omega A\). Entonces:

\(v_{y_{m a x}}=\omega A\)

Si quisiéramos la aceleración, basta con derivar de nuevo

\(a_{y}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}=\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=\mp \omega^{2} A \cos (k x \pm \omega t+\phi)\)

\(a_{y_{\max }}=\omega^{2} A\)

Gráfico de ondas

Considerando que la ecuación de la onda tiene forma cosenoidal:

\(y=A \cos (k x-\omega t+\phi)\)

Tenemos dos opciones de gráficos posibles: un gráfico \(y\) vs \(x\) (fijando en un tiempo \(t\): gráfico-instantáneo) o un gráfico \(y\) vs \(t\) (fijando en una posición \(x\): gráfico-historia).

Vamos, por ejemplo,a analizar el gráfico de \(y\) por \(x\) qué representa la función de onda para \(t=0\):

Gráfico-Instantáneo (t fija):

Gráfico-Historia (x fija):

\(A\) es la amplitud;

\(\lambda\) es la longitud de onda;

\(T\) es el período.

Sabemos que \(A\) es siempre el valor máximo que el gráfico alcanza y \(-A\), el mínimo. Esto se debe a que tanto la función seno como coseno varían de \(-1\) hasta \(1\).

\(\lambda\) y \(T\) también son fáciles de identificar en el gráfico! Solo encuentra una oscilación completa.

Pero ¿cómo encontramos la constante de fase?

En \(t=0\), tenemos:

\(y(x, 0)=A \cos (k x+\phi)\)

Si analizamos la función de onda en \(x=0\), nos quedaremos con una ecuación de la siguiente manera:

\(y(0,0)=A \cos (\phi)\)

\(\phi=\arccos \left[\frac{y(0,0)}{A}\right]\)

Simplemente tome los valores de A y \(y(0,0)\) del gráfico ( sea \(y\) vs \(t\), o \(y\) vs \(x\))!

¿Genial? ¿Vamos a los ejercicios?