Pulso No-Armónico

Hasta ahora hemos visto ondas propagarse en una cuerda de manera armónica,siguiendo la ecuación general con las funciones seno y coseno. Pero…, ¿será que existe algo distinto a eso?

Si! El enunciado puede proporcionar una ecuación que represente a un pulso y no una onda.

Esa ecuación puede ser del tipo:

\(y=f(x, t)\)

Existen algunas cosas que pueden ser solicitadas a partir de esa ecuación, y son estas:

• El pulso,es decir, \(y\) cuando \(t=0\);

• La velocidad de propagación del pulso;

• La velocidad transversal dada en un punto \(x\) de la cuerda en un instante \(t\).

Cálculo del pulso

Calcular el pulso cuando \(t=0\) es simple. Basta con sustituir la variable \(t\) por cero y obtener la ecuación \(y(x, 0)\), bien?

Si nos piden el gráfico de \(y\) en función de \(x\), basta con encontrar los valores de la función cuando:

\(x=0\)

\(x \rightarrow \infty\)

\(x \rightarrow-\infty\)

Y tendremos los valores para dibujar el gráfico.

Cálculo de la velocidad de propagación

Para el cálculo de la velocidad de propagación, tenemos que hacer cambio de referencial. Vayamos a un punto de referencia que se mueve con la misma velocidad de propagación del pulso. 

Con eso, empezamos a analizar un pulso parado, ¿no? Presta atención:

Hagamos un ejemplo:

Si la función de un pulso variando con \(x\) y \(t\) viene dada por:

\(y(x, t)=\frac{a}{a+(x-3 u t)^{2}}\)

Para el cambio de referencial, tenemos que cambiar la variable \(x\) a una nueva variable \(x_{1}\), tal que la función \(y(x, t)\) se transforme en \(y\left(x_{1}\right)\).

En este caso, es necesario que el término \(3 u t\) desaparezca, entonces:

\(x=x_{1}+3 u t\)

Lo que resultaría en:

\(y\left(x^{\prime}\right)=\frac{a}{a+x_{1}^{2}}\)

Y esa última ecuación es la que describe el pulso estacionario, en el referencial \(O^{\prime}\).

Por lo tanto, la ecuación que relaciona \(x\) y \(x_{1}\) nos da la velocidad con la que el referencial \(O^{\prime}\) se está moviendo. Como la velocidad de \(O^{\prime}\) es igual a la velocidad de propagación \(v\) de la onda, tenemos:

\(v=3 u\)

Para descubrir el sentido de propagación, preste atención a este consejo:

• Si \(x=x_{1}+v t \rightarrow O x\) negativo:

• Si \(x=x_{1}-v t \rightarrow O x\) positivo.

Cálculo de la velocidad transversal

Por último, tenemos al tercer ítem, que nos pide la velocidad transversal de un punto \(x\) en un instante \(t\). No tiene misterio! Solo tienes que derivar parcialmente la ecuación del pulso en función de \(t\).

Vamos a usar el ejemplo del ítem anterior:

\(y(x, t)=\frac{a}{a+(x-3 u t)^{2}}\)

Derivando parcialmente:

\(v_{y}=\frac{\partial y(x, t)}{\partial t} \rightarrow v_{y}=\frac{-a \cdot 2(x-3 u t) \cdot(-3 u)}{\left[a+(x-3 u t)^{2}\right]^{2}}\)

\(v_{y}=\frac{(x-3 u t)(6 a u)}{\left[a+(x-3 u t)^{2}\right]^{2}}\)

Algunas operaciones matemáticas pueden resultar difíciles, por lo tanto, es esencial que practiques. Vamos allá!