Ecuación Diferencial de Onda

En el capítulo de introducción a las ondas, vimos que hay diferentes ondas. 

Pero, ¿existe alguna forma de descubrir que una ecuación dada representa una onda?

¡Sí! Echémosle un vistazo. (: 

Ecuación Diferencial de Onda

La ecuación, que es una ecuación con derivadas parciales, es esa cosa hermosa de ahí:

\(\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v_{x}^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}\)

¡Vaya! ¿Pero para qué sirve?

Bueno, para lo siguiente: esta ecuación sirve como una “identidad” para las ondas. Es decir, si se dice que una determinada función describe el comportamiento de una onda, esa función tendrá que satisfacer esta ecuación. (:

Huum, ¿y cómo vamos a “probar la identidad” de una función como esa?

Hagamos un pequeño ejemplo:

El movimiento de una onda armónica cualquiera es descrito por:

\(y(x, t)=A \cos (k x+\omega t)\)

Reordenando la ecuación de la onda:

\(v_{x}^{2}=\frac{\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}}\)

Vamos a calcular cada una de las derivadas parciales de la función y luego vamos a jugar con la relación de arriba:

\(\frac{\partial y}{\partial x}=-k A \operatorname{sen}(k x+\omega t) \rightarrow \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-k^{2} A \cos (k x+\omega t)\)

Y:

\(\frac{\partial y}{\partial t}=-\omega A \operatorname{sen}(k x+\omega t) \rightarrow \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-\omega^{2} A \cos (k x+\omega t)\)

Ahora usando la relación:

\(v_{x}^{2}=\frac{\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}} \rightarrow v_{x}^{2}=\frac{-\omega^{2} A \cos (k x+\omega t)}{-k^{2} A \cos (k x+\omega t)}=\left(\frac{\omega}{k}\right)^{2}\)

Recordando que \(\omega=\frac{2 \pi}{T}\) y \(k=\frac{2 \pi}{\lambda}\):

\(v_{x}^{2}=\left(\frac{\omega}{k}\right)^{2} \rightarrow v_{x}^{2}=\left(\frac{\frac{\frac{2 \pi}{T}}{2 \pi}}{\lambda}\right)^{2}=\left(\frac{\lambda}{T}\right)^{2}=v_{x}^{2} \rightarrow v_{x}^{2}=v_{x}^{2}\)

Como llegamos a una verdad al final de la prueba, concluimos que la función realmente describe una onda

Esta prueba puede aplicarse a cualquier función que describa una onda, no tiene que ser armónica (tener seno o coseno)

Si en una pregunta el enunciado dice que la ecuación:

\(e^{b l a b l a . k+\omega(e t c)}\)

O cualquier otra función loca describe una onda, puedes usar la ecuación de la onda para verificar si es cierto. Genial, ¿no?.

Soluciones de la ecuación de onda (otra forma de verificarse)

Vale, entonces, si una función dada representa una onda, tiene que satisfacer la ecuación diferencial de onda. Pero eso también equivale a decir que la función es una solución de la ecuación diferencial de onda.

Genial? Lo particular de estas soluciones es que siguen un mismo estándar, que es el:

\(y=f(x-v t)\)

O:

\(y=g(x+v t)\)

O también, es una combinación de las dos:

\(y(x, t)=f(x-v t)+g(x+v t)\)

Entonces podrías estar preguntando: "Está bien, ¿y qué?"

Y es que sabiendo esto, puedes probar si una ecuación dada representa una onda sin usar la ecuación diferencial: solo basta con que llegues a la conclusión que la función sigue el patrón de arriba. 

Por ejemplo, la función de la onda armónica es la dada abajo. Si manipulamos las variables un poco:

\(y(x, t)=A \cos (k x \mp \omega t)\)

\(\therefore\)

\(y(x, t)=A \cos (k(x \mp v t))\)

Tenga en cuenta que allí apareció una \(v\) porque: \(k v=\omega\)

Entendiste? Esto te ayudará en algunas preguntas dónde aplicar derivadas es muy difícil. (:

Pero cómo sabremos qué signo le antecede a \(v\)?

Simple, usamos \(+\) si la onda se está propagando en la dirección negativa del eje \(x\),y \(-\) si va en sentido positivo.

¿Ya fuiste a hacer los ejercicios?