Velocidad y Potencia de una Onda en una Cuerda

Velocidad de una onda en una cuerda

Anteriormente vimos que la velocidad de una onda está relacionada con la longitud de onda y la frecuencia a través de:

\(v=\lambda f\)

Sin embargo, podemos decir que la misma es determinada también por las propiedades del medio

En el caso de la cuerda…

Cuando se trata de la velocidad de una onda en una cuerda, podemos calcularla a partir de la tensión en el alambre y la densidad lineal de la cuerda.

Una figura clásica que ilustra la situación es ésta:

La ecuación que relaciona la fuerza \(T\), tracción ejercida en el alambre, la densidad lineal de la cuerda y la velocidad de la onda en la cuerda \(v\) es la siguiente:

\(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)

¡Eso es lo que tienes que saber! Una fórmula mágica que resuelve todos los ejercicios:

Potencia media de una onda 

Cuando producimos una onda en una cuerda estirada, suministramos energía para que la cuerda se mueva (recuerda: todo el mundo necesita energía para moverse).

A medida que la onda va moviéndose en la cuerda y alejándose de nosotros, vimos que ella va transportando energía tanto en la forma de energía cinética como en la de potencial elástica.

Ahora vamos a ver cómo calcular la tasa media con la que se transmite esa energía.

La tasa media de energía transmitida no es más que la potencia media de la onda.

¿Cómo cuantificamos eso?

La potencia media viene dada por:

\(P_{m e d}=2 \mu v(\pi A f)^{2}\)

Donde:

\(v\) es la velocidad de onda.

\(\mu\) es la densidad lineal de la cuerda. Recuerdas eso? La densidad lineal de la masa es \(\mu=\frac{m}{L}\)  

\(A\) es la amplitud.

\(f\) es la frecuencia.

Esa fórmula asusta, ¿verdad? ¡Pero en el buen sentido de la palabra!

“Me ve dos ‘piaf’ cuadrados”-lo que sea que eso signifique

Si recuerdas esa frase, recordarás que:

\(P_{m e d}=(\mu v) \times(2) \times(\pi A f)^{2}\)

También podemos llamar a la potencia media de intensidad, es decir:

\(I=P_{m e d}=(\mu v) \times(2) \times(\pi A f)^{2}\)

Observación 1: colocando las unidades de \(\mu\),\(v\),\(A\) y \(f\) en el SI, la unidad de potencia es \(W\) (watt).

Observación 2: También puedes encontrar la expresión anterior de la siguiente forma:

\(P_{m e d}=\frac{1}{2} \mu v \omega^{2} A^{2}\)

Para llegar a esta sólo hay que recordar que \(\omega=2 \pi f\)

Observación 3: Otra ecuación que puede aparecer es la de potencia instantánea, que es el origen de la potencia de arriba!

\(P=-F \frac{\partial y(x, t)}{\partial x} \frac{\partial y(x, t)}{\partial t}\)

¡Donde \(F\) es la fuerza sobre la cuerda (generalmente la tensión) y \(y(x, t)\) es la función de la onda! Esa fórmula no es muy aplicada, pero no podemos hacer tonterías.

Y cuál sería la densidad de la energía por longitud?

Bueno, podemos llegar a esa expresión muy fácilmente. Sólo piense que la densidad de energía por longitud es algo así como:

\(\delta=\frac{d E}{d x}\)

Genial, cierto? Ahora veamos la expresión de la potencia y reescribamos la velocidad:

\(P_{m e d}=2 \mu v(\pi A f)^{2}\)

\(\therefore\)

\(P_{m e d}=2 \mu\left(\frac{d x}{d t}\right)(\pi A f)^{2}\)

\(\therefore\)

\(P_{m e d} \cdot d t=2 \mu(d x)(\pi A f)^{2}\)

¿Qué significa el lado izquierdo de la ecuación?. Es justamente \(d E\):

\(P_{m e d}=\frac{d E}{d t}\)

\(\therefore\)

\(\frac{d E}{d t} \cdot d t=2 \mu(d x)(\pi A f)^{2}\)

\(\therefore\)

\(d E=2 \mu(d x)(\pi A f)^{2}\)

\(\therefore\)

\(\frac{d E}{d x}=2 \mu(\pi A f)^{2}\)

Asombro? Esa es la llamada densidad media de energía total de la cuerda.

Okey, ahora estamos listos para enfrentar los ejercicios.