Reflexión e Inversión de Pulsos en Cuerdas

Ahora echemos un vistazo a cómo se comportan las ondas.

La primero que vamos a ver es como las ondas son reflejadas cuando llegan a un extremo del medio.

También es común considerar solo un pulso, es decir, una única perturbación que se desplaza, de tal forma:

Veamos entonces los tipos de extremo, que son dos: extremo fijo y extremo libre.

Extremo fijo:

El pulso es reflejado con amplitud invertida. Decimos, en este caso, que el pulso invirtió de fase.

Es decir: el pulso volteó su “cabeza” hacia abajo.

Extremo libre:

El pulso cambia de dirección. Decimos, en este caso, que el pulso mantiene la misma fase:

En este caso, el pulso vuelve de la misma manera que fue.

Usando la ecuación de onda en problemas de reflexión

En algunos casos, necesitaremos utilizar el concepto de ecuación de onda relacionándolo con la reflexión.

Recuerda la ecuación diferencial de onda?

\(\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v_{x}^{2}} \cdot \frac{\partial y^{2}}{\partial t^{2}} \rightarrow \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v_{x}^{2}} \cdot \frac{\partial y^{2}}{\partial t^{2}}=0\)

Entonces, vimos que esta tiene un solución general, que es así:

\(y(x, t)=f(x-v t)+g(x+v t)\)

Donde \(f\) y \(g\) son funciones cualquiera. Okey? Bien, pero para qué utilizamos eso?

Hagamos un ejemplo:

La onda de ecuación \(\textbf {g(x+v t)}\) se está propagando en una cuerda homogénea. En \(\textbf {x=0}\), esa cuerda tiene un extremo fijo. Escriba la ecuación de la onda reflejada.

Solución:

En \(x=0\), existe un nudo, ya que allí los pulsos se invierten. Así, podemos decir que:

\(y(0, t)=0\)

Además, como el enunciado te dió \(g(x+v t)\), necesitas encontrar la \(f(x-v t)\), que retrata la onda reflejada, que se va a sumar con la onda que viene, retratada por \(g(x+v t)\).

Antes de la reflexión, no existía esa porción de la ecuación que retratada la onda reflejada.

Era como si:

\(f(x-v t)=0\)

Entonces:

\(y(x, t)=f(x-v t)+g(x+v t)\)

\(\therefore\)

\(y(0, t)=f(-v t)+g(v t)=0\)

\(\therefore\)

\(f(-v t)=-g(v t)\)

Okay? Pero como el producto de la velocidad por el tiempo nos da como resultado la distancia, podemos hacer el siguiente cambio:

\(x^{\prime}=-v t\)

Entonces:

\(f\left(x^{\prime}\right)=-g\left(-x^{\prime}\right)\)

Ahora, haciendo mas de un cambio de variable:

\(x^{\prime}=x-v t\)

Entonces:

\(f(x-v t)=-g(-(x-v t))\)

\(\therefore\)

\(f(x-v t)=-g(-x+v t)\)

Y listo! La solución es:

\(y_{\text {reflejada}}(x, t)=-g(-x+v t)\)

Pulso pasando de una cuerda a otra

Ahora vamos a ver un último caso, que es cuando un pulso pasa de una cuerda a otra de distinto material.

Primero, vamos a imaginar la siguiente situación: un pulso pasando de una cuerda con densidad lineal de masa mayor que la anterior.

Que pasaría? En ese caso, la fase del pulso se invierte (como si tuviese un extremo fijo!)

Okay? Pero y si ocurre lo contrario? Y si el pulso pasa a una cuerda con densidad lineal de masa menor que la anterior?

Bueno, en ese caso no hay inversión de fase.

Eso era todo lo que tenías que saber acerca del tema! Que tal si ahora hacemos algunos ejercicios?

Ondas

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