Ondas Estacionarias

Considerando una cuerda tensa anclada en sus extremos, al producir una onda sinusoidal que se propaga hacia la derecha, tenemos que, eventualmente esa onda se reflejará en el otro extremo. Este proceso se dará varias veces, por lo que tendremos una superposición de ondas, es decir, una interferencia.

 

¡Genial! ¿Pero para qué queremos saber eso?

 

Bueno, para determinadas frecuencias de la onda senoidal producida, la superposición de ondas formará una onda estacionaria, tcharannnnnn!! Presta atención al ejemplo de abajo:

 

 

Analizando las ondas estacionarias

Ahora analizaremos el caso de las ondas, con la misma longitud de onda \(\lambda\) y amplitud \(A\), que se mueven en direcciones opuestas.

 

Visualmente, tenemos la siguiente situación:

La onda resultante \(c\) de la superposición de las ondas \(a\) y \(b\) es llamada onda estacionaria.

 

Y como su nombre indica, la forma de la onda no se mueve,es decir, los nodos permanecen siempre en la misma posición y las posiciones de máximo y mínimo no varían con el tiempo. 

 

Algebraicamente, tenemos que las ondas \(a\) y \(b\) son, genéricamente:

 

\(y_{1}(x, t)=A \cdot \operatorname{sen}(k x-\omega t)\)

 

\(y_{2}(x, t)=A \cdot \operatorname{sen}(k x+\omega t)\)

 

Ahora es solo sumar, la onda estacionaria, tendrá la siguiente forma:

 

\(y(x, t)=[2 . A . \operatorname{sen} k x] . \cos \omega t\)

 

Presta atención! Aquí utilizamos la siguiente identidad trigonometrica: 

 

\(\operatorname{sen} \alpha+\sin \beta=2 . \operatorname{sen} \frac{1}{2}(\alpha+\beta) \cdot \cos \frac{1}{2}(\alpha-\beta)\)

 

Ahora vamos a descubrir los puntos donde tenemos los nodos, donde la amplitud es cero, y los antinodos, donde tendremos amplitud máxima.

 

De acuerdo con la ecuación de la onda estacionaria, vemos que la amplitud para los valores en que \(\operatorname{sen} k x\) es cero, es decir:

 

\(k x=n \pi\)

 

\(x=n \cdot \frac{\lambda}{2}\)

 

Donde \(n=0,1,2 \ldots\)

 

Esos son los nodos, que permanecen sin cambios, vemos también que los nodos vecinos distan \(\frac{\lambda}{2}\).

 

A su vez, los puntos máximos ocurrirán cuando \(|\sin k x|=1\), es decir:

 

\(x=\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\lambda}{2}\right)\)

 

Donde \(n=0,1,2, \dots\) Los puntos máximos, llamados antinodos, también distan \(\frac{\lambda}{2}\), y están situados en los puntos medios de los vecinos.

 

Frecuencia de Resonancia 

Para la misma cuerda del inicio del texto, de longitud \(L\), tendremos algunas formaciones positivas de ondas estacionarias:

Cada uno de esos casos son llamados modos de vibración

 

El primer modo es llamado modo fundamental \((n=1)\).

 

Enumeramos esos modos de acuerdo con la figura:

Note que podemos calcular la longitud de onda en función de la longitud total \(L\):

 

Para \(n=1: \frac{\lambda}{2}=L\) (Porque el modo ocupa toda la longitud \(L\)) 

 

Para \(n=2: \lambda=L\)

 

Para \(n=3: \frac{3 \lambda}{2}=L\)

 

Para \(n=4: 2 \lambda=L\)

 

Observación: Te diste cuenta de que cada "“vuelta” de onda representa la mitad de la longitud de onda, ¿verdad? En el primer armónico, por ejemplo, \(\frac{\lambda}{2}=\boldsymbol{L}\).

 

Así:

\(L=\frac{n}{2} \lambda\)

 

Como \(v=\lambda f\), podemos calcular \(f\) de la siguiente manera:

 

\(f_{n}=\frac{n}{2}\left(\frac{v}{L}\right)\)

 

Donde \(f_{n}\) es la frecuencia del enésimo modo de vibración 

 

Presta atención al resumen.

 

Resumen 

  • Ondas estacionaria

\(y(x, t)=[2 . A . \operatorname{sen} k x] . \cos \omega t\)

 

  • Nodos

\(x=n \cdot \frac{\lambda}{2}\)

 

  • Antinodos

\(x=\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\lambda}{2}\right)\)

 

  • Frecuencia de Resonancia

\(f_{n}=\frac{2 n}{4}\left(\frac{v}{l}\right)\)

 

Energía, Momento y Potencia en Ondas Estacionarias

Ya estudiamos la energía y el momento en una onda común. Son transmitidas por las partículas de la cuerda. Una va pasando a otra, por así decirlo.

Sin embargo, en el caso de una onda estacionaria, existen los nodos y los nodos no se mueven.

 

Entonces, ellos bloquean el transporte normal de energía.

 

De esta manera, no hay propagación de energía o de momento en una onda estacionaria.

 

La energía en una onda estacionaria está atrapada en el espacio. 

 

Potencia

Como no existe la propagación de energía en los nodos y antinodos, ya debiste haber notado que no tendrá la velocidad de transferencia de energía de un punto a otro.

Entonces, la potencia de los nodos y antinodos es igual a \(0\):

 

\(P_{\text {antinodo}}=P_{nodo}=0\)

Vamos a los ejercicios?