Ondas Sonoras

Introducción a las Ondas Sonoras 

Hay varias formas de “ver” las ondas, balanceando una cuerda, por ejemplo. Pero el sonido también es una onda, cualquier sonido que escuchamos es transmitido por ondas, son lo que llamamos ondas sonoras! ¡Desafortunadamente, no podemos ver esas ondas; te imaginas si pudiéramos?! ¡Pero aún así, podemos estudiar varias de sus  características, vamos allá!

Vamos a entender mejor, qué es una onda sonora?

Usaremos de la definición genérica de que una onda sonora es cualquier onda mecánica longitudinal.

Donde una onda longitudinal es aquella en la que la dirección de propagación es la misma dirección de oscilaciones del medio

Y al ser mecánica, significa que necesita de un medio para propagarse!

Por eso, las ondas sonoras son ondas de presión y ondas de desplazamiento, pues ejercen una presión y el medio se desplaza a medida que la onda se propaga.

Módulo de compresibilidad a la velocidad del sonido

El módulo de compresibilidad es aquello que mide si un gas puede ser muy o poco comprimido.

Cuando el gas puede ser muy comprimido, el módulo de compresibilidad es bajo, y cuando puede ser poco comprimido, es alto.

El módulo de compresibilidad está representado por la letra \(B\). Puede ser calculado por:

\(B=\rho v^{2}\)

Donde \(\rho\) es la densidad del gas y \(v\) la velocidad del sonido. 

De ahí sacamos que la velocidad del sonido se puede calcular así:

Ah, el sonido es una onda, así que el sonido también debe tener una función del tipo abajo que lo describa, ¿verdad?

\(v=\sqrt{\frac{B}{\rho}}\)

Velocidad supersónica

Ya habrás oído de eso, ¿verdad?  Hay aviones que vuelan a velocidades supersónicas, que es cuando se supera la velocidad del sonido en un medio.

Es importante que usted sepa: la velocidad del sonido en el aire viene dada por:

\(v_{a r}=340 \mathrm{m} / \mathrm{s}\)

Cuando un objeto se desplaza a una velocidad superior a esa (velocidad supersónica), rompe la barrera del sonido y ocurre un estruendo o chasquido.

Ondas Progresivas

¿Pero cómo se supone que escriba una onda sonora?

Ah, el sonido es una onda, así que el sonido también debe tener una función, como la de abajo, que lo describa, ¿verdad?

\(y(x, t)=A \cos (k x \mp \omega t+\varphi)\)

Vamos a entender un poco acerca de cómo funciona una onda sonora matemáticamente.

Lo haremos analizando los desplazamientos y variaciones de presión asociados a una onda sonora que se propaga en el aire. Okay?. Vamos allá!

Función desplazamiento 

La función que describe el desplazamiento de una onda sonora es muy similar a la función que aprendimos para una onda cualquiera.

Esa función es:

\(s(x, t)=s_{m} \cos (k x-\omega t)\)

Siendo:

\(s_{m}= amplitud\)

Nota: El desplazamiento de una onda sonora puede ser representado tanto por una función cosenoidal como senoidal, ¿de acuerdo? :)

Ejemplo de gráfico de la función de desplazamiento:

Función de variación de presión

Bueno, las ondas de presión son funciones que indican la variación de presión de un gas con el paso del tiempo.

Estas funciones tienen una relación con la función de desplazamiento de la onda sonora y se relacionan por:

\(p(x, t)=-\frac{B \partial s(x, t)}{\partial x}\)

Vamos a derivar la expresión \(s(x, t)\) que vimos antes y reescribir esa de arriba:

\(p(x, t)=-B \cdot \frac{\partial s(x, t)}{\partial x}=-B \cdot\left(-s_{m} k \operatorname{sen}(k x-\omega t)\right)=B k s_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t)\)

Entonces, la función de la variación de presión es:

\(p=B k s_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t)\)

\(B\) es el módulo de compresibilidad y es igual a:

\(B=\rho v^{2}\)

Así, podemos ensamblar la siguiente ecuación:

\(p=\rho v^{2} k s_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t)\)

Donde:

\(\Delta p_{m}=\rho v^{2} k s_{m}\). Podemos sustituir \(k=\frac{\omega}{v}\) y llegamos a:

\(\Delta p_{m}=\rho v \omega s_{m}\)

La parte \(\operatorname{sen}(k x-\omega t)\) justifica el carácter oscilatorio del gráfico.

Presta atención al gráfico:

Recordando que todas las relaciones que usamos para ondas, valen en las ondas sonoras también. Después de todo, siguen siendo ondas, no vamos a excluirlas sólo por ser sonoras, ¿verdad? 

Entonces, por ejemplo, si tenemos una onda descrita por:

\(s(x, t)=\left(2 \cdot 10^{-2}\right) \cos (0,5 \pi x-300 \pi t)\)

Y queremos saber su velocidad, ¿cómo podríamos hacerlo?

Bueno, comparando con lo que vimos allí arriba en la función desplazamiento de una onda, podemos llegar a que:

\(k=0,5 \pi\)

y

\(\omega=300 \pi\)

Con eso, sabemos que una onda vale:

\(v=\lambda f\)

Para hallar el valor de \(\lambda\):

\(k=\frac{2 \pi}{\lambda} \rightarrow \lambda=\frac{2 \pi}{k}\)

Para hallar el valor de \(f\):

\(\omega=2 \pi f \rightarrow f=\frac{\omega}{2 \pi}\)

\(\rightarrow f=150 H z\)

Ahora es solo sustituir en la fórmula de la velocidad:

\(v=\lambda f \rightarrow v=4 \bullet 150=600 \mathrm{m} / \mathrm{s}\)

Bien!!! Y eso es lo que necesitamos saber, ¿vamos a los ejercicios?