Interferencia de Dos Rendijas
El experimento de Young
El experimento se basa en: colocar un láser detrás de una rendija, para que luego éste atraviese dos agujeros pequeños, que llevan por nombre \(S_{1}\) y \(S_{2}\), y golpee una pared.
Las imágenes que obtendrás son de color oscuro y alternado, con un aspecto parecido muy similar a este:
Elegí luz roja ya que resalta más.
¿Dónde estarán las franjas brillantes?
Las rendijas \(S_{1}\) y \(S_{2}\) actuarán como dos fuentes de luz cuyas distancias a diversos puntos del pared son distintas, causando una diferencia de fase.
Si observamos la figura de abajo, donde la distancia entre las rendijas y la pared \(R\) es mayor que la distancia entre las dos rendijas \(d\).
Como \(d \ll R\), podemos decir que \(r_{1}\) y \(r_{2}\) son aproximadamentes paralelas.
Las dos ondas recorrerán una distancia distinta, llegando a la pared fuerza de fase. De acuerdo con la figura anterior, esa diferencia de camino óptico será dada por:
\(r_{2}-r_{1}=d \operatorname{sen}(\theta)\)
Los puntos de interferencia constructiva y destructiva están dados por
La figura en la pared se forma por la alternancia de los puntos de interferencia constructiva y destructiva. Dicha imagen lleva por nombre Franjas de Interferencia, representada a continuación:
¿Existe un límite para el tamaño de esa figura? ¡Si!
A medida que \(\theta\) se aproxima a \(90^{\circ}\), la luz incidirá cada vez más lejos del centro, hasta que \(\theta=90^{\circ}\) la luz no llegará a la pared! Así que la última franja que aparece corresponde a \(\theta \approx 90^{\circ}\).
Distancia angular entre máximos y mínimos
¿Cómo podemos saber la distancia entre dos franjas de interferencia?
Primero, vamos a relajarnos. El ángulo de las franjas con respecto a la franja central viene dado por las condiciones de interferencia constructiva y destructiva (el cuadradito amarillo de allá arriba).
¿Pero el ángulo entre dos franjas cualquiera? Resulta que, para ángulos muy pequeños, podemos aproximar las funciones trigonométricas.
\(\operatorname{sen}(\theta) \cong \theta ; \cos (\theta) \cong 1\)
Así que, para franjas claras y franjas oscuras, tenemos:
\(\theta_{\text {clara}} \cong \frac{m_{i} \lambda}{d}\)
\(\theta_{o s c u r a} \cong \frac{\left(m_{i}+\frac{1}{2}\right) \lambda}{d}\)
Y el ángulo entre dos franjas oscuras o dos franjas claras será dado por:
\(\Delta \theta \cong \frac{\left(m_{2}-m_{1}\right) \lambda}{d}\)
Para máximos o mínimos adyacentes, \(m_{2}=m_{1}+1\), y ambas fórmulas se reducen a:
\(\Delta \theta \cong \frac{\lambda}{d}\)
“¡Este es un regalo de los dioses! ¿Cuándo podré disfrutar de tal regalo?”
Bueno, en algunas ocasiones el ejercicio/exámen/prof te lo dirá. En otras ocasiones, tu debes averiguarlo. En caso de que no estés muy seguro, utilizala sin miedo, a menudo el ejercicio contempla este escenario.
Distancia entre máximos y mínimos
Puede que un ejercicio no pregunte por los ángulos, sino por la diferencia de alturas en la pared. Veamos cómo podemos calcularla:
Podemos encontrar la distancia \(y\) de una franja al centro usando la tangente del ángulo:
Como consideramos que \(d \ll R\) los rayos \(r_{1}\) y \(r_{2}\) son considerados paralelos. Si trazamos una línea recta paralela a \(r_{1}\) y \(r_{2}\) partiendo del punto medio de \(S_{1} S_{2}\) tendremos el triángulo azul de arriba.
De ahí, podemos sacar que:
\(\tan (\theta)=\frac{y}{R}\)
¡Pero nuevamente nuestro regalo divino nos ayudará! Pues, para ángulos pequeños:
\(\tan (\theta)=\frac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos (\theta)} \cong \operatorname{sen}(\theta)\)
Sustituyendo en las condiciones de máximo, tenemos que:
\(y_{m a x}=R \frac{m \lambda}{d}\)
Sustituyendo en las condiciones de mínimo, llegamos a:
\(y_{m i n}=R \frac{\left(m+\frac{1}{2}\right) \lambda}{d}\)
Con eso, podemos calcular la distancia entre 2 máximos o 2 mínimos cualquiera restando sus distancias hasta el centro de la figura.
Para máximos o mínimos adyacentes, la fórmula será la siguiente:
\(\Delta y=R \frac{\lambda}{d}\)
Es decir, la distancia entre las franjas brillantes y la distancia entre las franjas oscuras es aproximadamente constante.
¿Cuán brillantes son las luces que veo a lo lejos?
Ese brillo que vemos en cada punto de la figura de interferencia no es nada más que el reflejo de la intensidad de su campo eléctrico.
En medio de cada franja brillante, sabemos que la interferencia es constructiva. En medio de cada franja oscura, sabemos que la interferencia es destructiva.
Pero de una franja clara a una franja oscura el brillo forma un degradado: este va variando poco a poco de claro a oscuro. ¿Cómo podemos saber cuán brillante será un punto en la pared?
Como ya sabemos, ese brillo es la intensidad de la luz. Esta varía continuamente a lo largo de la figura de interferencia, formando un gráfico como este:
En un punto cualquiera de la pared, esa intensidad tendrá la siguiente fórmula:
\(I_{p}=4 I_{0} \cos ^{2}\left(\frac{\phi}{2}\right)\)
Donde:
-
\(I_{0}\) es la intensidad de la luz incidente en el sistema de doble rendija
-
\(\phi\) es la diferencia de fase resultante de la diferencia de camino óptico de las dos ondas luminosas, dada por:
\(\phi=\frac{2 \pi d \operatorname{sen}(\theta)}{\lambda}\)
Tenga en cuenta que en los puntos donde la intensidad es la mayor posible (en las franjas brillantes), es cuatro veces mayor que la de la luz incidente \(\left(4 I_{0}\right)\).
Estos puntos corresponden a nuestra condición \(d \operatorname{sen}(\theta)=m \lambda\).
En ese caso, la diferencia de fase \(\phi\) será un múltiplo entero de \(2 \pi\), haciendo que el coseno valga \(1\) en la expresión (que es el mayor valor posible).
\(\phi=m \bullet 2 \pi=\frac{2 \pi d \operatorname{sen}(\theta)}{\lambda}\)
\(\cos ^{2}\left(\frac{\phi}{2}\right)=\cos ^{2}(m \pi)=1\)
\(m \lambda=d \operatorname{sen}(\theta)\)
Además, los puntos para la intensidad cero son aquellos en los cuales \(\phi\) es un múltiplo entero impar de \(\pi\), haciendo el coseno vale cero.
\(\phi=(2 m+1) \bullet \pi=\frac{2 \pi d \operatorname{sen}(\theta)}{\lambda}\)
\(\cos ^{2}\left(\frac{\phi}{2}\right)=\cos ^{2}\left(\left(m+\frac{1}{2}\right) \pi\right)=0\)
\(\left(m+\frac{1}{2}\right) \lambda=d \operatorname{sen}(\theta)\)
Para ángulos pequeños, \(\operatorname{sen}(\theta) \cong \theta\) e \(\tan (\theta) \cong \operatorname{sen}(\theta)\). Podemos reproducir la discusión anterior usando la distancia de los puntos de la figura en relación al centro, en lugar del ángulo.
\(\tan (\theta)=\frac{y}{R} \cong \operatorname{sen}(\theta)\)
Donde \(R\) es la distancia desde las rendijas hasta la pared. Sustituyendo en la diferencia de fase:
\(\phi=\frac{2 \pi . d . y}{R . \lambda}\)
¡Eso es todo amigos!
¡Ah, algo más!
En algunos sitios, puede que encuentres la fórmula escrita de esta forma:
\(I_{P}=I \cos ^{2}\left(\frac{\phi}{2}\right)\)
En ese caso, \(I\) es la intensidad de la franja central brillante de la figura de interferencia!
La intensidad en ese punto es \(I=4 I_{0}\), por lo que las fórmulas son iguales.
¿Qué sucede si realizamos el experimento en el agua?
¿Que tal si para darle un poco de vida a esto hacemos el experimento de Young en el agua? (o cualquier otro medio, como petróleo, refrigerante, lo que sea). En ese caso, ¿qué cambia?
Cuando la luz se propaga en diferentes medios, asume diferentes velocidades. Esta viene dada por:
\(\lambda f=v\)
Sin embargo, permanece con la misma frecuencia y por lo tanto la longitud de onda tiene que variar con la velocidad.
Podemos saber cuánto varía la velocidad a través del índice de refracción del medio, que es dado por la razón entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en dicho medio:
\(n_{m ed i o}=\frac{c}{v}\)
Juntemos las dos ecuaciones y veamos cómo la longitud de onda cambia:
\(n_{m ed i o}=\frac{c}{v}=\frac{\lambda_{0} f_{0}}{\lambda f_{0}}=\frac{\lambda_{0}}{\lambda}\)
\(\lambda=\frac{\lambda_{0}}{n_{\text {medio}}}\)
Esto significa que siempre que usamos las condiciones de interferencia, usaremos esa longitud de onda \(\lambda\), en lugar de \(\lambda_{0}\) como hacíamos antes.
¿Qué? ¿Un montón de cosas, verdad? ¡Por eso tenemos un montón de ejercicios para ti! Vamos allá \o/
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