Introducción a las sucesiones

Definición

¿Alguna vez has participado en un juego que trata de adivinar cuál es el siguiente número?  Aquellos que son algo así:

\[2,4,6,8\]

Y te preguntas: ¿cuál es el próximo número?

Va de 2 en 2, ¿cierto? Entonces, el próximo número será \(10\), luego \(12\), y así sucesivamente.

Bien, pues aquella lista de números es llamada secuencia. Claro, cabe resaltar que no toda secuencia sigue la misma lógica que la que acabamos de ver. En ocasiones es difícil entender la lógica de una secuencia, o incluso, dicha lógica no existe. Por ejemplo:

\[1,3,2,5,42,4 \ldots\]

Entonces, en realidad, la secuencia es el conjunto de números en sí. Pero no te preocupes, pues vamos a aprender a determinar el próximo número en casos como este.

Término general

Es divertido intentar adivinar cuál es el siguiente número, pero pongamosle un poco más de dificultad. Imagina la siguiente situación: queremos saber cuál es el número que ocupa la posición \(25^{º}\) de la primera secuencia.

¿Se complicó un poco? Pues tranquilo, porque es fácil. Para llegar a la respuesta, vamos a decir que el primer número es \(a_{1}\), el segundo \(a_{2}\) y así sucesivamente. Entonces, tendremos:

\[a_{1}=2, a_{2}=4, a_{3}=6, a_{4}=8, \ldots\]

Ahora la pregunta ahora es: ¿cuál es el \(a_{25}\)? Observa: 

\[a_{1}=2.1, a_{2}=2.2, a_{3}=2.3, a_{4}=2.4\]

¿Estás viendo que el número siempre es \(2\) veces su posición en la secuencia? Entonces, podemos decir que para cualquier posición \(n\), tenemos lo siguiente:

\[a_{n}=2 n\]

Esa expresión es una manera de escribir todos los términos de la secuencia, basta con ir dándole a \(n\) los valores que vamos hallando en los términos. Esta fórmula es llamada fórmula del término general.

\(n\) es la posición del número en la secuencia, ¿cierto? Entonces este solo puede ser un número natural, como \(1,2,3 \ldots\), pero no \(3,1415\).

Con la fórmula del término general, es fácil responder que \(a_{25}\) es \(50\).

Para dejar todo en claro, vamos a escribir los \(3\) primeros términos de la secuencia dada por:

\[\left\{\frac{n}{n+1}\right\}_{n=1}^{\infty}\]

No te asustes con la notación. Dentro de las llaves está la expresión del término general. 

\[a_{n}=\frac{n}{n+1}\]

\(n=1\) y \(\infty\) solo están allí para indicar que \(n\) va del \(1\) al \(\infty\). Haremos \(n= 1, 2, 3\)

\[a_{1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}, a_{2}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}, \quad a_{3}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}\]

Secuencia definida por recurrencia

La fórmula del término general es bastante útil, ¿verdad? Podemos armar toda la secuencia solo con la posición del término en la misma. Pero, no todo son flores y no toda secuencia es definida por una fórmula del término general.

Existen secuencias que son definidas por recurrencia, es decir, un término dado es definido por su relación con los anteriores. El ejemplo más conocido de este tipo de secuencias es la de Fibonacci, en donde:

\[a_{1}=a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}\]

¿Ves como el término \(a_{n+2}\) siempre depende del anterior, y del anterior al anterior? Eso es llamado recurrencia. La secuencia de Fibonacci es dada por:

\[1,1,2,3,5,8,13, \ldots\]

¡Vamos a los ejercicios!