Regla de L'Hopital y Teorema del emparedado

La regla de L’Hopital

Vamos a repasar esta regla para facilitar el cálculo del límite de una secuencia. 

Primero, recordemos en cuáles casos la podemos utilizar:

   \(1.\) Indeterminaciones del tipo \(\frac{0}{0}\)

   \(2.\) Indeterminaciones del tipo \(\frac{\infty}{\infty}\)

 Veamos su definición para recordar mejor:

Ahora, veamos un ejemplo:

Mira si la siguiente secuencia converge o diverge:

\[a_{n}=\frac{\ln n}{n}\]

Cuando \(n\) va hacia el infinito, vemos que hay una indeterminación, de esta forma, podemos aplicar la regla de L’Hopital:

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{(n)^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}=0\]

Entonces esta secuencia converge. 

Mucho más simple, ¿verdad? Entonces, cada vez que aparezcan estas indeterminaciones, debemos pensar en L’Hopital, pues por lo general, el problema se resuelve fácilmente. 

Teorema del emparedado

A continuación veremos el teorema del emparedado, este sirve para calcular muchos límites de secuencias. 

Siendo \(\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}\) y \(\left\{c_{n}\right\}\) tres secuencias tales que \(a_{n}<b_{n}<c_{n}\), entonces, si \(a_{n}\) y \(c_{n}\) convergen y si \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=L,\left\{b_{n}\right\}\) también converge y tiene límite \(L\).

En resúmen, si una secuencia está “entre” dos otras secuencias que poseen límite \(L\), entonces esta también posee el mismo límite \(L\). 

Veamos un ejemplo:

Ejemplo

¿La siguiente secuencia converge o diverge? En caso de converger, encuentre el valor:

\[a_{n}=\frac{\cos n}{n^{2}+n}\]

El coseno siempre está entre \(-1\) y \(1\).

\[-1 \leq \cos{n} \leq 1\]

Entonces podemos escribir:

\[-\frac{1}{n^{2}+n} \leq \frac{\cos n}{n^{2}+n} \leq \frac{1}{n^{2}+n} \Rightarrow-\frac{1}{n^{2}+n} \leq a_{n} \leq \frac{1}{n^{2}+n}\]

Es decir, la secuencia está entre otras dos. Veamos si estas dos secuencias convergen en el mismo valor. Aplicando el límite:

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}+n}=0 \quad \text { y } \quad \lim _{n \rightarrow \infty}-\frac{1}{n^{2}+n}=0\]

Así:

\[0 \leq \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq 0\]

Por el teorema del emparedado, tenemos que la secuencia converge en \(0\).

Siempre que aparezcan senos o cosenos, podemos utilizar este teorema. Eso es todo, ¡vamos a practicar!