Teorema de la sucesión monótona

Sucesiones crecientes y decrecientes

¡Bienvenidos, espero que todos estén bien! En esta ocasión hablaremos sobre el teorema de la sucesión monótona. 

Para ello, veremos dos sucesiones como ejemplo:

\[\{n\}_{n \in N}=1,2,3,4, \ldots\]

Como puedes observar, el siguiente término siempre es mayor que el anterior. Por tanto, esta sucesión es creciente. Se dice que una sucesión es creciente cuando:

\[\text{ Para todo }n \in \mathbb{N} a_{n}<a_{n+1}\]

Veamos el segundo ejemplo…,

\[\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n \in N}=1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\]

Aquí ocurre todo lo contrario. El siguiente término de la sucesión siempre es menor que el anterior. Por tanto, se trata de una secuencia decreciente. Se dice que es decreciente cuando:

\[\text { Para todo }n \in \mathbb{N} a_{n+1}<a_{n}\]

¿Y por qué querríamos saber todo eso? Porque si una sucesión siempre es creciente o decreciente se dice que es monótona.

Antes de hablar sobre el teorema, veamos qué es una sucesión limitada.

Sucesión limitada

¿Qué es una limitada? Primero, veamos que es una limitada inferiormente.

Vamos a utilizar el ejemplo anterior, 

\[\{n\}_{n \in N}=1,2,3,4, \ldots\]

Tenemos una sucesión de números naturales que parten desde el \(1\). Entonces:

\[a_{n}>0\]

Aquí tenemos un número, en esta caso \(0\), que es menor que todos los términos de la sucesión, esto significa que esta es limitada inferiormente. En la práctica, quiere decir que existe un número que es menor que la sucesión general. 

Ahora veamos qué es una limitada superiormente. Y vamos a reutilizar el otro ejemplo:

\[\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n \in N}=1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\]

Como se puede apreciar, los valores de la sucesión siempre van disminuyendo, y su valor más alto es \(1\). Cuando hallamos un número mayor que todos los de la secuencia, sabemos que esta es limitada superiormente.

Entonces, ser limitada significa ser “limitada” superiormente e inferiormente. Veamos la sucesión \(\{\operatorname{sen}(n)\}_{n \in \mathbb{N}}\), recordando que

\[-1 \leq \operatorname{sen}(n) \leq 1\]

Se trata de una secuencia limitada. Por tanto, debemos hallar un número que sea mayor que el resto, y otro que sea menor. 

Teorema de la sucesión monótona

¿Y para qué sirve? En ocasiones, calcular el límite del término general resulta complicado o la pregunta simplemente no nos dá el término general, imagina que tenemos: 

\[a_{1}>0\]

\[a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2^{n}}\]

Como puedes ver, este no nos dice nada sobre la sucesión. Intentar escribir el término general sería complicadísimo. ¿Cómo podemos saber si esa sucesión es convergente o no? 

En la práctica, lo primero que tenemos que comprobar es si la secuencia es monótona. Si lo es, podemos utilizar el teorema. De esta forma podemos saber si es limitada o no. No necesitamos el término general.

Interesante, ¿no? En realidad, muchas veces vamos a utilizar el hecho de que la sucesión es monótona y limitada para llegar a la conclusión de que es convergente.

No sabemos nada sobre la sucesión, entonces veamos si es monótona. Hasta ahora tenemos dos formas de saberlo, o despejar enloquecidamente para ver si es creciente o decreciente. Esto último normalmente es bastante complicado:

La mejor manera de hacerlo es:

\[\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\]

Luego vemos si esta es mayor o menor que \(1\). Si es mayor que \(1\), tenemos una sucesión creciente. Si es menor que \(1\), tenemos una sucesión decreciente. ¿Quedó claro?

Entonces, vamos a calcular:

\[\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{a_{n}}{2^{n}}}{a_{n}}=\frac{1}{2^{n}}\]

Ten en cuenta que como \(n \geq 1\), tenemos:

\[\frac{1}{2^{n}} \leq \frac{1}{2^{1}}\]

Que es menor que \(1\), entonces tenemos que la secuencia es decreciente.

Veamos si es limitada. Recuerda que es decreciente, por tanto, es menor que \(a_{1}\). Entonces, si hallamos un número que sea menor que todos los términos de la sucesión, esta será limitada inferiormente. 

Como \(a_{1}>0,\) y \(a_{n+1}=a_{n} / 2^{n}\), todos los términos serán positivos. Si dividimos \(a_{n}\) por \(2^{n}\), independientemente de \(n\), será positivo, ya que \(a_{1}>0\). Eso nos dice que

\[0<a_{n} \leq a_{1}\]

Entonces, la sucesión es limitada. 

Ya que cumple los parámetros del teorema (limitada y monótona), podemos decir que la sucesión es convergente.