Introducción a las series

Introducción

¿Recuerdas que una sucesión es un conjunto secuenciado de valores? Veamos el siguiente ejemplo, una sucesión de números pares:

\[a_{n}=2,4,6,8, \ldots, 2 n\]

¿Y si quisiéramos sumar esos términos?

\[s_{n}=2+4+6+8+\ldots+2 n\]

Se dice que la suma \(s_{n}\) es la serie de los términos de la sucesión \(a_{n}\).

“¿Entonces una serie es una suma?”

¡EXACTO! Y se representa usando el símbolo:

\[\Sigma\]

Que es llamado: Sumatorio

Podemos representar la suma de los primeros \(4\) términos, es decir, de \(n=1\) a \(n=4\), de esta forma:

\[\sum_{n=1}^{4} 2 n=2+4+6+8\]

En este punto tenemos algunas nomenclaturas importantes: \(2n\) es el término general, \(a_{n}\) la serie; \(n=1\) es el primer valor a ser colocado en la suma \(2 \cdot 1=2\); y \(n=4\) es el dato del último valor a ser sumado \(2 \cdot 4=8\).

Series finitas e infinitas: 

Una serie puede ser finita, como la del ejemplo anterior, o puede ser infinita (representando una suma de infinitos términos):

\[\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n}=2+4+8+16+\ldots\]

“¡¿Cómo?! ¿Una suma de infinitos términos? ¿Pero el resultado de eso no es infinito?” 

Pues, en algunos si (como en el del ejemplo anterior), pero en otros… no. Por ejemplo, en esta serie:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots\]

Cuanto mayor sea \(n\), menor es el valor de la serie. Pero, ¿cómo podemos calcular dicho valor?

Calculando series

Ejemplo: calcule la suma de la siguiente serie:

\[S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}\]

Para calcular el valor de algunas series complicadas, tendremos que hacer ciertas operaciones algebraicas, o inspeccionar los términos.

Veamos la suma parcial (la suma de solo algunos términos \(i=1,2,3, \ldots, n\)

\[S_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+2)}\]

Si \(n\) va hacia el infinito, \(S_{n}\) se convertirá en \(S\):

\[S=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\]

Vamos a ponerlo en fracciones parciales:

\[\frac{1}{i(i+2)}=\frac{A}{i}+\frac{B}{i+2}\]

Calculando el “MCM” de las dos fracciones al lado izquierdo:

\[\frac{1}{i(i+2)}=\frac{A(i+2)+B i}{i(i+2)}\]

Entonces:

\[A i+2 A+B i=1\]

Poner \(i\) en evidencia:

\[i(A+B)+2 A=1\]

Como en el lado izquierdo solo tenemos \(1\) (constante), tenemos que:

\[\left\{\begin{array}{c}A+B=0 \\ 2 A=1\end{array}\right.\]

Donde tenemos que \(A=\frac{1}{2}\) y \(B=-\frac{1}{2}\), entonces… 

\[\frac{1}{i(i+2)}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{i}-\frac{1}{2} \cdot \frac{B}{i+2}=\]

\[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+2}\right)\]

Entonces podemos escribir la serie de la siguiente manera:

Dividiendo la serie en \(n\) términos, tendremos:

\[\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\right]=\]

\[\frac{1}{2}\left(1-\mathbf {\frac{1}{3}}+\frac{1}{2}-\mathbf{\frac{1}{4}}+\mathbf{\frac{1}{3}}-\mathbf{\frac{1}{5}}+\mathbf{\frac{1}{4}}-\mathbf{\frac{1}{6}}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\]

Como puedes ver, algunos términos se van cancelando, siguiendo una lógica. Por ejemplo, \(-1/3\) (siguiendo el número de la serie) se cancela con \(+1/3\) (quinto número de la serie). Pero algunos números no serán cancelados.

El valor del denominador siempre aumenta, entonces ni el primer ni el tercer número al comienzo de la serie serán cancelados, porque no aparecerá ningún \(-1\), o \(-1/2\). Lo mismo va a ocurrir al otro lado de la serie, es decir, ni el último ni el antepenúltimo serán cancelados. 

Todos los términos que están en “negrita” serán cancelados uno a uno (comprueba). Entonces:

\[S_{n}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\]

Así, tomando el límite, tenemos:

\[S=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\]

Como \(n \rightarrow \infty\), los términos \(\frac{1}{n+1}\) y \(\frac{1}{n+2}\), van a tender a cero.

Convergencia y Divergencia

¡A continuación veremos un nuevo concepto! 

Cuando el valor de la serie va hacia el infinito, decimos que la serie es divergente. En el caso de la serie:

\[\sum_{n=1}^{\infty} 2 n=2+4+6+8+10+\ldots\]

Esa suma no tendrá como resultado un valor específico, debido siempre se están agregando términos mayores. Por tanto, la serie diverge: una forma más matemática de decirlo sería así:

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{\infty} 2 n=\infty\]

En otros casos, como el del segundo ejemplo:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots\]

La serie tiende a un valor real. Observa la suma de los primeros \(6\) términos:

Ahora comparalo con la suma de los primeros \(8\)

¿Ves? Con tal solo \(8\) términos estamos próximos a \(1\). Si continuamos sumando indefinidamente nos acercaremos aún más al \(1\). En estos casos se dice que la serie es convergente. Podemos denotarlo a través del límite:

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=1\]

En muchos casos no será posible saber de manera sencilla cuál será el valor de ese límite, pero por suerte, eso no es lo que nos importa. Lo que nos interesa es saber si la serie diverge o converge (independientemente del lado en que converja).

Propiedades de una serie

Ya sabemos que es una serie convergente. ¿Sabes por qué estas series son geniales? Porque en ellas podemos aplicar las siguientes propiedades:

\[\sum_{n=0}^{\infty} c a_{n}=c \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\]

\[\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\]

Es decir, cuando tenemos una constante multiplicando una serie, podemos despejar la constante. La segunda propiedad nos dice que si el término general de una serie es la suma de otros dos términos generales, podemos separar la serie como la suma de las otras dos series. 

Pero recuerda, estas propiedades solo son válidas para series convergentes. 

Ejemplo:

\[\sum_{n=1}^{\infty} 5\left(\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{n^{2}}\right)=5\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)\]

“¿Y cómo puedo saber si las series son convergentes?”

Por desgracia, no lo podemos saber hasta ahora, pero lo haremos más adelante.