Serie geométrica

Introducción

En esta ocasión hablaremos sobre un tipo de serie en especifico: la serie geométrica. Veamos un ejemplo:

\[\sum_{n=0}^{100}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\]

“¿Qué tiene de especial?”

Observa los términos que componen la serie:

\[\sum_{n=0}^{100}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\]

Todo ellos (a excepción del primero) se obtienen multiplicando el término anterior por una constante, en este caso, \(1/2\), así:

\[\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \cdot 1\]

\[\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\]

\[\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\]

Entonces surge la pregunta: ¿cuál es el tipo de sucesión que se forma multiplicando el término anterior por una constante (razón)? La respuesta es la PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. ¿Recuerdas?

En este caso, la PG que forma la serie geométrica es la del término inicial \(1\) y razón \(1/2\):

\[\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}, \ldots, \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{99}\right\}=\]

\[\quad\left\{1, \frac{1}{2},\left(\frac{1}{2}\right)^{2},\left(\frac{1}{2}\right)^{3}, \ldots,\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\right\}\]

Ahora viene una pregunta importante: ¿cuál es la suma de los términos de una PG?

Suma de los términos de una PG

Para facilitar la explicación primero veremos cuál es la suma de los términos de la PG del ejemplo, y luego generalizamos:

\[\sum_{n=0}^{100}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=S_{100}\]

Llamamos \(S_{100}\) a la serie que representa la suma de la PG. Entonces… 

\[S_{100}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\]

Para sumar todo eso sin recurrir a la calculadora, aplicamos un truco: multiplicamos todo por \(1/2\):

\[\frac{1}{2} S_{100}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^{101}\]

Como puedes ver, las dos igualdades anteriores se parecen y si restamos una con la otra, varios términos se van a cancelar:

\[S_{100}-\frac{1}{2} S_{100}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^{100}-\left.\bigg(\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots+ \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{101} \bigg{)}\rightarrow\right.\]

\[S_{100}-\frac{1}{2} S_{100}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^{100}-\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\ldots-\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{101}\]

Todos los términos del medio son eliminados, quedando solo el primero y el último.

\[S_{100}-\frac{1}{2} S_{100}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{101}\]

Poniendo en evidencia a \(S_{100}\) y despejando:

\[S_{100}\left(1-\frac{1}{2}\right)=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{101} \rightarrow\]

\[S_{100}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{101}}{1-\frac{1}{2}}\]

Ese es el valor de la PG (consecuentemente el de la serie geométrica):

\[\sum_{n=0}^{100}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{101}}{1-\frac{1}{2}}\]

Serie geométrica

Con ese resultado, podemos continuar el estudio de las series geométricas generalizando formalmente de la siguiente forma:

Si tenemos una PG de razón \(r\), la serie geométrica es la suma de los términos de esa PG:

\[\sum_{n=0}^{k}(r)^{n}\]

Y el resultado de la serie es la suma de los términos de la PG (solo debemos cambiar \(1/2\) por \(r\) en el resultado de la suma de la PG):

\[\sum_{n=0}^{k}(r)^{n}=\frac{1-(r)^{k+1}}{1-r}\]

Convergencia de la serie geométrica

Hasta el momento, hemos visto cuál es el comportamiento de una serie geométrica finita, donde \(k\) es un número conocido. ¿Pero qué pasa con la serie geométrica infinita? Es decir, queremos saber cuál es el comportamiento de esta serie:

\[\sum_{n=0}^{\infty}(r)^{n}=? ? ?\]

Pues, la respuesta depende de la cual sea la razón \(r\). Porque si \(r\) es un número mayor que \(1\) (\(r=2\) por ejemplo)… 

\[\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots\]

Como los términos de la serie aumentan cada vez más es de esperarse que la serie diverja. Recordando que cuando el valor de la serie va hacia el infinito, se dice que la serie es divergente.

Pero, qué ocurre si:

\[a)-1<r<1 \space ?\]

\[b) r=1 \space ?\]

\[c) r=-1 \space ?\]

CASO A)

Si \(r\) es un número entre \(1\) y \(-1\) (un número pequeño como \(r=1/2\), por ejemplo) es de esperarse que la serie converja, pues estaremos sumando términos cada vez menores, ejemplo:

\[\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots\]

De hecho, podemos usar la fórmula de la suma para casos finitos (donde \(k\) es un número)

\[\sum_{n=0}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}}{1-\frac{1}{2}}\]

Y poner a \(k\) yendo hacia el infinito en un límite, entonces tendríamos:

\[\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}}{1-\frac{1}{2}}=\]

\[\quad \lim _{k \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{2^{k+1}}}{1-\frac{1}{2}}\]

Teniendo en cuenta de que cuando \(k\) va hacia el infinito, \(1/2^{k+1}\) va hacia \(0\), de forma que:

Entonces, de forma general, si \(r\) es un número entre \(1\) y \(-1\), podemos decir que la serie geométrica infinita, o simplemente la serie geométrica, CONVERGE para:

\[\sum_{n=0}^{\infty}(r)^{n}=\frac{1}{1-r}\]

CASO B)

\[r=1\]

Este es el caso más intuitivo; tenemos:

\[\sum_{n=0}^{\infty}(1)^{k}=1+1+1 \ldots=\]

Esa suma siempre aumenta, es decir:

\[=\infty\]

La serie diverge

CASO C)

\[r=-1\]

Aquí tendremos:

\[\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{k}=1-1+1-1+1 \ldots=\]

Si paramos en \(-1\) el valor de la serie será \(0\). Pero si paramos en \(1\) el valor de la serie será \(1\). Por tanto, la serie nunca converge, esta se queda oscilando eternamente entre \(0\) y \(1\). 

Resumiendo… 

La serie geométrica es una serie especial, que como todas las series, tiene dos formas: finita e infinita (o simplemente serie geométrica). 

SERIE GEOMÉTRICA FINITA \(k\) es un número)

\[\sum_{n=0}^{k}(r)^{n}=\frac{1-(r)^{k+1}}{1-r}\]

Y sirve para cualquier valor \(r\) que queramos.

SERIE GEOMÉTRICA

\[\sum_{n=0}^{\infty}(r)^{n}=\frac{1}{1-r}\]

Esta serie solo converge para \(r\) en el intervalo de \(-1\) a \(1\):

\[-1<r<1\]

Obs: te recomiendo aprenderte la fórmula de la serie geométrica infinita, pues esta es la que suele aparecer en los exámenes.