Test de divergencia

Test de divergencia o test del término 

Uno de los puntos más importantes al estudiar series será el analizar la convergencia. Entonces nos preguntamos: ¿será que existen formas más sencillas de analizar la convergencia? Si, existen; y en los próximos capítulos aprenderemos varios test que pueden ser aplicados a las series para saber si poseen o no una suma.  

En esta ocasión, veremos un test simple que resulta del siguiente teorema:

“Si la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\) es convergente, entonces \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0\)”.

¡Aquí debes tener mucho cuidado! Porque, por ejemplo, el límite de la serie armónica va hacia \(0\), pero no es convergente. El teorema dice que todas las convergentes tienen límite yendo a cero y no al contrario. 

En realidad, utilizamos este teorema de la siguiente forma: calculamos el límite y si resulta diferente a cero podemos afirmar que la serie diverge. Si el límite es cero, no podemos afirmar nada (la serie puede o no converger).

Se aconseja siempre comenzar por este test. Además de ser rápido y sencillo, te puede ahorrar mucho trabajo. 

Veamos un ejemplo.

Diga si la serie converge o diverge:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{5 n^{2}+4}\]

Analizando el término general tenemos que:

\[a_{n}=\frac{n^{2}-1}{5 n^{2}+4}\]

Haciendo el límite, tenemos:

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-1}{5 n^{2}+4}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{n^{2}}}{5+\frac{4}{n^{2}}}=\frac{1}{5}\]

Por el test de divergencia, como el límite es diferente a cero, la serie es divergente.