Criterio del cociente y de la raíz

Criterio del cociente

El criterio del cociente dice lo siguiente: si calculamos el límite

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=L\]

(Donde \(a_{n}\) es un término género de la serie y \(a_{n+1}\) es el próximo después de este)

\[\left\{\begin{array}{c}\text {si } 0 \leq L<1 \text {, entonces } \sum a_{n} \text { es convergente } \\ \text { si } L>1\left(\text { o } \lim \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1} / \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\infty\right) \text {,entonces } \sum a_{n} \text { diverge } \\ \text {si } L=1 \text {,entonces no podemos decir nada }\end{array}\right.\]

¿Cómo memorizamos eso? Piensa así: si la razón entre el siguiente término y el anterior siempre tiende a ser menor que \(n\), eso significa que los términos siempre están disminuyendo y tendiendo suficientemente rápido a cero. En este caso, la suma converge para un valor. 

Por otro lado, si la razón es mayor que \(1\), eso quiere decir que la suma siempre es creciente, por tanto, no converge para un número limitado. Cuando el límite es exactamente \(1\), la serie puede converger o divergir, no lo sabemos.

Ejemplo: estudie la convergencia de la serie 

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{3^{n}}\]

Paso 1: en este caso vamos a aplicar el criterio del cociente. Primero vamos a escribir quienes son \(a_{n}\) y \(a_{n+1}\). 

\[a_{n}=\frac{n^{3}}{3^{n}}, \quad a_{n+1}=\frac{(n+1)^{3}}{3^{n+1}}\]

Paso 2: ahora vamos a calcular el límite que pide el criterio

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(n+1)^{3}}{3^{n+1}} \times \frac{3^{n}}{n^{3}}\right|\]

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{3}}{3 n^{3}}=\]

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3}(1+1 / n)^{3}}{3 n^{3}}=\]

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+1 / n)^{3}}{3}=\frac{1}{3}<1\]

Como encontramos que \(L=1 / 3<1\), sabemos que esa serie es convergente.

Ya sabemos cómo aplicar este criterio, pero queda una duda: ¿Cuándo usamos el criterio del cociente? ¿Por qué el criterio del cociente es una buena elección? Porque de esa forma podemos simplificar el límite, especialmente gracias a la potencia en el denominador del término general \(3^{n}\). Luego de simplificar el límite, podemos eliminar los exponentes \(n\), solo restando el número \(3\), lo que nos hace todo más simple. 

Otro caso para el cual el criterio del cociente es una buena elección es cuando tenemos un factorial. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: estudie la convergencia de la serie:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}\]

Paso 1: para usar el criterio del cociente, vamos a escribir quienes son \(a_{n}\) y \(a_{n+1}\):

\[a_{n}=\frac{1}{n !}, a_{n+1}=\frac{1}{(n+1) !}\]

Paso 2: ahora vamos a calcular el límite del criterio:

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{(n+1) !} \times \frac{n !}{1}\right|\]

Desarrollando el factorial en el denominador:

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{(n+1) n !} \times n !\right|=\]

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(n+1)}=0<1\]

Y así, por el criterio del cociente, la serie del problema es convergente. 

Criterio de la raíz

Es sencillo reconocer cuando tenemos que usar este criterio. Es bastante parecido al criterio del cociente, presta atención. 

Siendo \(\sum a_{n}\) una serie, asumimos que \(\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\left(\left|a_{n}\right|\right)^{1 / n} \longrightarrow_{n \rightarrow \infty} L\). Si el límite \(L\) existe:

\[\left\{\begin{array}{l}\text { si } 0 \leq L<1 \text {, entonces } \sum a_{n} \text { converge } \\ \text { si } L>1\left(\text { o } \lim \left(a_{n}\right)^{1 / n}=\infty\right) \text {,entonces } \sum a_{n} \text { diverge } \\ \text { si } L=1 \text {,entonces no se puede decir nada }\end{array}\right.\]

¿Ves? Las mismas reglas del criterio del cociente, solo que el límite es diferente. Lo interesante es que cuando el criterio del cociente no funciona (o sea, \(L=1\)), el criterio de la raíz tampoco. Así que no pierdas tu tiempo aplicando ambos.

¿Cómo funciona este criterio en la práctica? Veamos un ejemplo. Digamos que te piden analizar la convergencia de la siguiente serie:

\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{3 n^{2}}\right)^{n}\]

Paso 1: repasamos los test/criterios que hemos aprendido hasta ahora

Como no es evidente que la serie diverge, suponemos que el test de divergencia no funciona en este caso, así que no perderemos el tiempo aplicándolo.

 No podemos aplicar el test de comparación, puesto a que esa serie no se asemeja a ninguna que conozcamos, además seleccionar solo los términos dominantes para probar en el límite sería complicado. 

Incluso, sería peor aplicar el criterio del cociente en este caso. Imagina sustituir todos esos \(n\)’s por \(n+1\). El límite de \(a_{n+1} / a_{n}\) sería muy complicado de resolver.

Observa que el término general está enteramente elevado a \(n\). Dicho exponente es exactamente el que complica nuestra vida, pero con el criterio de la raíz podemos deshacernos de él. Entonces, tenemos:

\[\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\left(\left|a_{n}\right|\right)^{1 / n}=\frac{n^{2}+1}{3 n^{2}}\]

Paso 2: ahora debemos calcular el límite que pide el criterio:

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+1}{3 n^{2}}=\]

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}\left(1+1 / n^{2}\right)}{3 n^{2}}=\]

\[=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+1 / n^{2}\right)}{3}=\frac{1}{3}\]

Como encontramos que \(L=1 / 3<1\), sabemos, por el criterio de la raíz, que la serie es convergente. 

Imagina que la serie fuera la siguiente:

\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}}\right)^{n}\]

Muy parecida a la que acabamos de ver, ¿no? Ni tanto. Observa que ese \(“3”\) que teníamos en el denominador hacía toda la diferencia para este criterio. Sin él, encontramos que \(L=1\) para el límite, un resultado inconcluso. Entonces, en este caso, el criterio de la raíz no serviría, tendríamos que buscar otro. 

Tal vez estés pensando “también usábamos el criterio del cociente cuando teníamos exponente \(n\), ¿Cuál es la diferencia para este criterio?” La diferencia es que, como dijimos en el ejercicio, vamos a usar el criterio de la raíz cuando todo el término general esté elevado a un exponente \(n\).

¿Y por qué? Piensa, vamos a eliminar la raíz de ese término, para cancelar el exponente. Si alguna parte no tuviera ese exponente, tendríamos una raíz de sobra, lo que complica todo aún más. 

Y eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!