Test de la integral

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén bien! Existen varios test/criterios que nos permiten saber si una serie diverge o converge. En esta ocasión hablaremos sobre uno que nos garantiza la convergencia de una serie. Este es el test de la integral.

Por ejemplo, vamos a estudiar la convergencia de la serie a continuación:

 \[\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}}\]

Podemos ver que se trata de una mezcla de serie geométrica, pero parece una \(p-\)serie. Te puedo adelantar que aplicar cualquiera de los test/criterios que hemos estudiado hasta ahora sería un poco complicado. Por tal razón, vamos a utilizar el test de la integral. Que en resúmen, dice lo siguiente:

   \(\bullet\) Si tenemos una función decreciente \(f(x)\) tal que \(f(n)=a_{n}\)

(Lo que quiere decir es que sustituyendo un valor \(n\) en la función, tendremos el término general de la serie (\(a_{n}\)).)

   \(\bullet\) Entonces, si la integral de esa función converge, la serie también converge.

¡Lee la última frase de nuevo! Lo que haremos es integrar el término general de la serie para ver su convergencia. ¡Vamos allá!

Función creciente y decreciente

Pero antes, observa que en la definición del test de la integral, resalté que \(f(x)\) tiene que ser decreciente. Entonces, ¿Qué te parece si repasamos esos conceptos?

Mira la función \(f(x)=2 x\), a continuación:

Como \(x_{1}<x_{2}\), entonces \(f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)\). Cuando esto ocurre, tenemos una función creciente. 

Ahora veamos la función \(f(x)=-x+2\),

En este caso también \(x_{1}<x_{2}\), solo que aquí está invertido y  \(f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)\). Cuando esto sucede tenemos una función decreciente. 

Formalmente decimos que sea \(f(x)\) una función contínua en un intervalo \((a, b)\), entonces tenemos:

\[\left\{\begin{array}{l}f \text { es creciente si y solo si } f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right) \text { cuando } x_{1}<x_{2} \\ f \text {es decreciente si y solo si } f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) \text { cuando } x_{1}<x_{2}\end{array}\right.\]

Pero no siempre tenemos que graficar la función para saber si es creciente o no. ¡Podemos saberlo derivando!

A continuación veremos un criterio que nos permite saber cuando la función es creciente o decreciente:

\[\left\{\begin{array}{l} \text {Si } f^{\prime}(x) > 0 \space \forall \space x \text{ en } (a,b) \text{ entonces } f \text{ es creciente en } (a,b) \\ \text {Si } f^{\prime} (x) < 0 \space \forall \space x \text { en } (a,b) \text{ entonces } f \text{ es decreciente en } (a,b)\\ \text{Si } f^{\prime}(x)=0 \space\forall \space x \text{ en }(a,b) \text{ entonces } f \text{ es constante en }(a,b)\end{array}\right.\]

Entonces, si quisiéramos descubrir donde la función es creciente, basta con derivar y ver donde la derivada es mayor que \(0\). Si quisiéramos saber donde la función es decreciente, basta con ver donde la derivada es menor que \(0\). 

Sabiendo lo anterior veamos un ejemplo para estudiar la convergencia de la serie usando el test de la integral.

Aplicando el test de la integral

¿Recuerdas el ejemplo? Aquí está de nuevo listo para que lo resolvamos:

\[\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}}\]

Paso 1: tenemos:

\[a_{n}=n e^{-n^{2}}\]

Si definimos

\[f(x)=x e^{-x^{2}}\]

Tenemos que \(f(n)=a_{n}\). En términos prácticos, sustituimos \(n\) por \(x\). Como puedes ver, la función \(f(x)\) es relativamente fácil de integrar, lo cual es un indicio de que utilizar el test de la integral es una buena opción. 

Paso 2: veamos si es decreciente. Observa que comienza en \(n=1\), entonces solo tenemos que ver si decrece a partir de dicho punto. Entonces, vamos a derivar,

\[f(x)=x e^{-x^{2}}\]

\[f^{\prime}(x)=e^{-x^{2}}\left(1-2 x^{2}\right)\]

Nos interesa el intervalo a partir de \(1\), entonces vamos a sustituir ese punto. 

\[f^{\prime}(1)=e^{-(1)^{2}}\left(1-2(1)^{2}\right)=-\frac{1}{e}\]

Observa que para el intervalo el cual estamos interesados \(f^{\prime}(x)<0\), entonces la función es decreciente. 

Pero lo anterior no es suficiente como para decir que la función es decreciente en todo el intervalo de \(-1\) a \(-\infty\), solamente es decreciente en el punto \(x=1\).

¡Vamos a integrar!

Paso 3: vamos a calcular la integral del test

\[\int_{1}^{\infty} f(x) d x=\int_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}} d x\]

Esa es una integral impropia (el intervalo de integración es infinito). ¿Recuerdas cómo calcular este tipo de integral? Basta con recordar la siguiente propiedad:

\[\int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x\]

Es decir, sustituimos el infinito por una variable \(b\) y luego tomamos su límite. Haremos eso en este problema:

\[\int_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}} d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{1}^{b} x e^{-x^{2}} d x\]

Solo cambiamos la forma de escribir. Ahora sabemos calcular:

Siendo \(u=e^{-x^{2}}\), tenemos \(d u=-2 x e^{-x^{2}} d x\), lo que nos da:

\[\int_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}} d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int\left(-\frac{d u}{2}\right)=\lim _{b \rightarrow \infty}\left(-\frac{u}{2}\right)\]

\[=\left.\lim _{b \rightarrow \infty}\left(-\frac{e^{-x^{2}}}{2}\right)\right|_{1} ^{b}\]

\[=\lim _{b \rightarrow \infty} \frac{\left(e^{-1}-e^{-b^{2}}\right)}{2}\]

Note que

\[\lim _{b \rightarrow \infty} e^{-b^{2}}=\lim _{b \rightarrow \infty} \frac{1}{e^{b^{2}}}=0\]

Entonces

\[\lim _{b \rightarrow \infty} \frac{\left(e^{1}-e^{-b^{2}}\right)}{2}=0+\frac{e^{-1}}{2}=\frac{1}{2 e}\]

Y listo, acabamos de ver que la integral converge en un punto. Por tanto, por el test de la integral, podemos decir que la serie del problema también converge. 

OBS: la serie no debe necesariamente comenzar en \(n=1\). Por ejemplo, si tuviéramos:

\[\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{(n-3)^{2}}\]

Hacemos la siguiente operación:

\[\int_{4}^{\infty} \frac{1}{(x-3)^{2}} d x\]

Observa que, en este caso la serie es decreciente sólo a partir de \(n=4\). Sin problema, hacemos el test de la integral a partir de dicho valor de \(n\), puesto a que luego del él la serie es decreciente. 

Resumiendo

De una forma más matemática tenemos

Considere la secuencia \(\left\{a_{n}\right\}\), donde \(a_{n}=f(n)\). Siendo \(f\) una función positiva decreciente en \([1, \infty)\), entonces:

\[\left\{\begin{array}{l}\text { si } \int_{1}^{\infty} f(x) d x \text { converge, entonces } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { converge } \\ \text { si } \int_{1}^{\infty} f(x) d x \text { diverge, entonces } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { diverge }\end{array}\right.\]

Pero mira, la función TIENE QUE SER DECRECIENTE. Si fuera creciente, seguramente la integral de esta diverge y no necesitaríamos hacer el test de la integral. 

¡Vamos a los ejercicios!