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Serie alternada
¿Qué son las series alternadas?
En esta ocasión estudiaremos las series que cambian de signo cada término. “¿Cómo así?” Mira:
\[\left\{\begin{array}{l}\text { si } \int_{1}^{\infty} f(x) d x \text { converge, entonces } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { converge } \\ \text { si } \int_{1}^{\infty} f(x) d x \text { diverge, entonces } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { diverge }\end{array}\right.\]
¿Ves como los signos se alternan? Esto es lo que llamamos una serie alternada.
Entonces, cuando veas un término \((-1))\) elevado a una potencia \(n\), debes saber que se trata de una serie alternada. Pero esto no siempre es tan claro, mira este ejemplo:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \pi}{n}\]
De primeras, ves que no se trata de una serie alternada, pero mira sus términos:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \pi}{n}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \ldots\]
Es exactamente la misma serie que acabamos de ver, solo que escrita de forma diferente. Observa que, como \(n\) solo puede ser un entero, podemos escribir el coseno de la siguiente forma:
\[\cos n \pi=(-1)^{n}\]
\[n=1 ; \cos \pi=-1\]
\[n=2 ; \cos 2 \pi=1\]
\[n=3 ; \cos 3 \pi=-1\]
Y así sucesivamente.
Entonces, a partir de ahora, cuando veas un seno o coseno en una serie, recuerda que se puede tratar de una serie alternada.
Criterio de Leibniz
Veamos la convergencia de la siguiente serie:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\]
Como la serie tiene términos negativos no podemos usar el criterio de comparación ni el de integral. Entonces vamos a usar el criterio del cociente:
\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{(-1)^{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}=1\]
Dio un resultado inconcluso. ¡¿Ahora que test/criterio usaremos?! Pues existe uno bastante específico para las series alternadas, llamado Criterio de Leibniz. Es muy sencillo, mira:
Dada una serie alternada:
\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} b_{n}\]
Si satisface estas dos condiciones:
\[\left\{\begin{array}{l}b_{n+1} \leq b_{n} \text { para todo } n \\ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0\end{array}\right.\]
Entonces, la serie converge.
Volviendo al ejemplo anterior. Tenemos que:
\[b_{n}=\frac{1}{n^{2}}\]
Como \(n^{2}<(n+1)^{2}\), tenemos que:
\[\frac{1}{(n+1)^{2}}<\frac{1}{n^{2}} \rightarrow b_{n+1}<b_{n}\]
Además,
\[\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0\]
Entonces, por el criterio de Leibniz podemos decir que es convergente.
¿Ves? Este criterio es super sencillo.
Convergencia absoluta
Cuéntame sobre la convergencia la siguiente serie:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^{2}}\]
Entonces, aplicando el teorema de la divergencia concluimos (luego de usar el teorema del emparedado) que el límite va a cero, por tanto, este test nos da una respuesta inconclusa. Como \(\cos n\) tiene términos negativos para algunas \(n\), no podemos aplicar el test de comparación ni el de la integral.
Para casos en donde tenemos números negativos tenemos que comprobar si la serie es absolutamente convergente.
Es sencillo: una serie es absolutamente convergente, si \(\sum\left|a_{n}\right|\) es convergente. Mira cómo se aplica en este ejemplo:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\cos n}{n^{2}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos n|}{n^{2}}\]
Como \(0<|\cos n| \leq 1\) para todo \(n\), podemos comparar con \(\sum 1 / n^{2}\) que es convergente. Como:
\[\frac{|\cos n|}{n^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}}\]
Entonces, por el test de comparación:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\cos n}{n^{2}}\right|\]
Converge y la serie original es absolutamente convergente.
Bien, pero… ¿Y de qué nos sirve saber eso? Pues a continuación veremos un truco que será de mucha utilidad:
Toda serie absolutamente convergente es convergente
Entonces, la serie es convergente. Como no podíamos aplicar los test/criterios que conocíamos, porque la serie no era de términos positivos, tuvimos que verificar si se trataba de una absolutamente convergente. Al concluir que se trata de una serie absolutamente convergente, por consecuencia, podemos concluir que es convergente.
Detalle técnico: no toda serie convergente es absolutamente convergente.
Pregunta que surge: ¿Solo puedo utilizar esa propiedad con series de términos negativos? La respuesta es no. También puede ser utilizada con términos positivos, pero como \(\left|a_{n}\right|=a_{n}\) seguramente termines usando alguno de los test/criterios que conocemos.
Convergencia condicional
Ya sabemos que podemos probar la convergencia de una serie mostrando su convergencia absoluta, pero ¿Cómo sabemos cuando la serie no es absolutamente convergente?
Esto solo ocurre para series con términos negativos. Aquí solo vamos a estudiar el caso de las series alternadas.
Cuando una serie alternada converge pero no converge absolutamente, decimos que esta es condicionalmente convergente. Esto quiere decir que converge como serie alternada, pero no como serie de términos positivos. En este caso, solo se puede utilizar el criterio de Leibniz. Veamos un ejemplo.
Podemos usar el criterio de Leibniz para probar la convergencia de:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}\]
Esa serie también es llamada serie armónica alternada, ya que, sin considerar el signo negativo, tenemos una serie armónica:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]
Pero si recuerdas, sabrás que esta serie no converge. Por tanto, la serie armónica alternada converge, pero no absolutamente: entonces, decimos que converge condicionalmente.
Resumen práctico de las series alternadas
Siempre que un problema te pida analizar la convergencia de una serie alternada, presta atención, ya que solo existen \(3\) respuestas posibles:
\[\left\{\begin{array}{l}\text { converge absolutamente } \\ \text { converge condicionalmente } \\ \text { diverge }\end{array}\right.\]
Como la convergencia condicional es algo más restringido (son series que no convergen absolutamente), debes probar la convergencia absoluta antes, usando los test/criterios que ya conocemos (cociente, raíz, comparación, etc). Luego de que hayas verificado que la serie no converge absolutamente, usa el criterio de Leibniz para descubrir si converge condicionalmente. Si esto no ocurre, (si tampoco converge condicionalmente), puedes usar el test de la divergencia para ver si diverge.
Sugerencia para los ejercicios de series alternadas:
\[\text {Test para la conv. absoluta}\left\{\begin{array} {l} \text { concluso }=\text { absolutamente convergente } \\ \text { inconcluso } \rightarrow \text { Criterio de Leibniz }\left\{\begin{array}{l}\text { concluso }=\text { cond. convergente } \\ \text { inconcluso } \rightarrow \text { Test de la divergencia }\end{array}\right.\end{array}\right.\]
Este esquema sirve para un caso general, si tienes una serie y pruebas que diverge, no pierdas el tiempo tratando de aplicar la convergencia absoluta. Y si estas perdido, sería bueno que sigas estos pasos.
¡Vamos a los ejercicios!
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