Ecuación Diferencial Homogénea de 2º Orden
Oscilaciones amortiguadas (OA)
Las oscilaciones amortiguadas, en general, son movimientos que repiten un determinado patrón. ¡El sistema de masa-resorte es un gran ejemplo!
¿Qué son las oscilaciones amortiguadas?
Son movimientos armónicos que de cierta forma tienen un “freno” que los amortigua. Si pensamos en el sistema masa-resorte, un "freno", o más bien una fuerza de amortiguación, puede ser la fuerza de resistencia del aire que siempre intenta detener la masa.
Es decir, el sistema no se mantendrá en movimiento por siempre. Se detendrá con el tiempo porque la fuerza de resistencia le restará energía al sistema hasta que se detenga. En este caso, la energía no se conserva.
Entre las muchas OA que existen en la naturaleza, hablemos del más conocido: sistema masa-resorte con amortiguación. Veamos cómo se comporta el sistema de masa-resorte sumergido en un fluido viscoso:
Lo primero que debes hacer es aplicar la ley que describe el movimiento (Ley de Newton): por el diagrama de cuerpo libre
Tenga en cuenta que, en este caso, además del resorte con constante elástica \(k\), también tenemos una fuerza de resistencia, con constante de proporcionalidad \(c\). Por la ley de Newton, la fuerza resultante es la suma de las fuerzas:
\[F_{R}=F_{e l}+F_{\text {de resistencia}}\]
Imagina que el bloque está a la derecha del punto de equilibrio, moviéndose hacia la izquierda, como en el diagrama.
La fuerza de resistencia del aire está dada por:
\[F_{\text {de resistencia}}=-c v\]
Donde \(v\) es la velocidad y \(c\) es una constante de proporcionalidad. El signo menos indica que la fuerza de resistencia siempre apunta en la dirección opuesta al movimiento.
La fuerza elástica viene dada por:
\[F_{e l}=-k x\]
Donde \(k\) es la constante elástica; el signo menos indica que la fuerza elástica siempre apunta en la dirección contraria al movimiento.
Según Newton, la fuerza resultante está dada por la masa multiplicada por la aceleración:
\[F_{R}=m a\]
Entonces tenemos:
\[F_{R}=F_{e l}+F_{\text {de resistencia}} \quad \Rightarrow \quad m a=-c v-k x \quad \Rightarrow\]
Pero \(a=\ddot{x}\) y \(v=\dot{x}\)
\[m \ddot{x}=-c \dot{x}-k x \quad \Rightarrow\]
\[m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=0\]
Es una ecuación diferencial homogénea de segundo grado con coeficientes constantes, vamos a dividir todo por la masa:
\[\ddot{x}+\frac{c}{m} \dot{x}+\frac{k}{m} x=0\]
¡Esta es la ecuación principal!
Entonces, podemos decir que
\[\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}\]
\[\omega_{0}= \text {frecuencia natural sin amortiguación}\]
Vamos a decir que:
\[\frac{c}{m}=2 \lambda\]
Y así tenemos:
\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0\]
Ya sabemos como resolver ese tipo de ecuación diferencial. Vamos a analizar los \(3\) casos:
-
Caso 1: \(\Delta=0\)
-
Para \(\Delta=0\), tenemos:
\[r_{1}=r_{2}=-\frac{2 \lambda}{2(1)}=-\lambda\]
Entonces tenemos:
\[x(t)=c_{1} e^{-\lambda t}+c_{2} t e^{-\lambda t}\]
Cuando \(\Delta=0\) decimos que el sistema es críticamente amortiguado.
-
Caso2: \(\Delta>0\)
Para \(\Delta>0\) tendremos:
\[r_{1}=\frac{-2 \lambda+\left(4 \lambda^{2}-4(1)\left(\omega_{0}^{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}}{2(1)}=\frac{-2 \lambda+2 \sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}}{2}=-\lambda+\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}\]
\[r_{2}=-\lambda-\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}\]
Entonces tenemos:
\[x(t)=e^{-\lambda t}\left(c_{1} e^{\sqrt{\left(\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}\right)} t}+c_{2} e^{-\sqrt{\left(\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}\right)} t}\right)\]
Cuando \(\Delta>0\) decimos que el sistema es superamortiguado.
-
Caso 3: \(\Delta<0\)
Para \(\Delta<0\) tenemos:
\[r_{1}, r_{2}=\frac{-2 \lambda \pm\left(4 \lambda^{2}-4(1)\left(\omega_{0}^{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}}{2(1)}=\frac{-2 \lambda \pm 2 \sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}}{2}=-\lambda \pm \sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} i\]
\[x(t)=e^{-\lambda t}\left(c_{1} \cos \left(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} t\right)+c_{2} \operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} t\right)\right)\]
Cuando \(\Delta<0\) decimos que el sistema es subamortiguado.
Oscilaciones Forzadas (OF)
Hasta este punto solo hemos hablado de movimientos realizados por fuerzas del sistema, como el M.A.S, o las O.A. ¿Qué pasaría si existieran fuerzas que fuera del sistema influenciaran el movimiento? Por ejemplo:
En este caso, debido a la fuerza externa \(f(t)\) que arrastra la masa del sistema, podemos considerarla una oscilación forzada. La oscilación forzada también puede ser amortiguada cuando se toman en cuenta las fuerzas de amortiguación.
Oscilación forzada con amortiguación
Hablamos de oscilación forzada cuando existe una fuerza externa \(f(t)\) al movimiento. Por tanto, agregamos la fuerza a la ecuación. En el caso con amortiguación, tenemos:
\[F_{R}=-k x-c v+f(t) \quad \Longrightarrow \quad m \ddot{x}=-c \dot{x}-k x+f(t)\]
Despejando \(f(t)\) del lado derecho y dividiendo todo por la masa:
\[\ddot{x}+\frac{c}{m} \dot{x}+\frac{k}{m} x=\frac{f(t)}{m}=F(t)\]
Sustituimos:
\[\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}\]
\[\frac{c}{m}=2 \lambda\]
Tenemos que:
\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=F(t)\]
El lado izquierdo sigue siendo el mismo que el de oscilaciones amortiguadas y el lado derecho tiene una función en \(t\). Ya sabemos cómo se resuelve, pues se trata de una ecuación no homogénea. Por tanto, la solución es:
\[x(t)=x(t)_{\text {homogenea }}+x(t)_{\text {particular }}\]
La solución homogénea que sabemos resolver y la particular dependerá de \(F(t)\).
Oscilación forzada sin amortiguación
En este caso no existe la amortiguación, por tanto:
\[F_{\text {de resistencia}}=-c v\]
Entonces, la ecuación será:
\[\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=F(t)\]
Como puedes ver, esta ecuación tampoco es homogénea.
Veamos un ejemplo para entenderlo mejor:
Ejemplo:
Sea un sistema masa-resorte amortiguado con:
\[m=1 \mathrm{~kg} \space \text { y } \space k=9\]
Sea una fuerza de amortiguación: \(g(t)=6 v\)
Y una fuerza externa actuante: \(f(t)=e^{-2 t}\)
Con las condiciones iniciales: \(x(0)=1\) y \(x^{\prime}(0)=-4\)
Entonces encuentre \(x(t)\):
Paso 1:
Primero vamos a armar la ecuación del movimiento.
Esta es:
\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=F(t)\]
Donde:
\[2 \lambda=6, \omega_{0}^{2}=9 e f(t)=e^{-2 t}\]
Entonces:
\[x^{\prime \prime}+6 x^{\prime}+9 x=e^{-2 t}\]
Paso 2:
Vamos a hallar la solución homogénea:
\[x^{\prime \prime}+6 x^{\prime}+9 x=0\]
Ya sabemos cómo resolver esa ecuación diferencial.
Ecuación característica:
\[r^{2}+6 r+9=0\]
Raíces:
\[r_{1}=r_{2}=-3\]
Solución de la homogénea:
\[x_{h}(t)=c_{1} e^{-3 t}+c_{2} t e^{-3 t}\]
Paso 3:
Vamos a hallar \(x_{p}(x)\) con coeficientes a determinar:
Como \(f(t)\) es una exponencial, \(x_{p}(x)\) también será una exponencial de igual exponente:
\[x_{p}(x)=A e^{-2 t}\]
Paso 4:
Hallar las derivadas de \(y_{p}(x)\):
\[\left\{\begin{array}{c}x_{p}(x)=A e^{-2 t} \\ x_{p}{}^{\prime}(x)=-2 A e^{-2 t} \\ x_{p}{ }^{\prime \prime}(x)=4 A e^{-2 t}\end{array}\right.\]
Paso 5:
Vamos a sustituir en la ecuación y hallar las constantes:
\[x^{\prime \prime}+6 x^{\prime}+9 x=2 e^{-2 t}\].
\[\left(4 A e^{-2 t}\right)+6\left(-2 A e^{-2 t}\right)+9\left(A e^{-2 t}\right)=e^{-2 t}\]
\[A e^{-2 t}=e^{-2 t}\]
\[\rightarrow A=1\]
Paso 6:
La solución general es:
\[x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)\]
\[y(x)=\left[c_{1} e^{-3 t}+c_{2} t e^{-3 t}\right]+\left[e^{-2 t}\right]\]
\[x(t)=c_{1} e^{-3 t}+c_{2} t e^{-3 t}+e^{-2 t}\]
Paso 7:
Vamos a aplicar las condiciones iniciales:
Calculando la derivada:
\[x^{\prime}(t)=\left(c_{2}-3 c_{1}+-3 c_{2} t\right) e^{-3 t}-2 e^{-2 t}\]
Calcular \(x(0)\) y \(x^{\prime}(0)\):
\[x(0)=c_{1}+1\]
\[x^{\prime}(0)=c_{2}-3 c_{1}-2\]
Sustituir las condiciones iniciales dadas:
\[\left\{\begin{array}{c}x(0)=1 \\ x^{\prime}(0)=-4\end{array}\right.\]
\[\rightarrow\left\{\begin{array}{c}{c_{1}+1=1} \\ {c_{2}-3 c_{1}-2=-4}\end{array}\right.\]
Resolviendo el sistema:
\[\left\{\begin{array}{c}c_{1}=0 \\ c_{2}=-2\end{array}\right.\]
Sustituyendo en la solución general, hallamos la solución particular del P.V.I:
\[x(t)=c_{1} e^{-3 t}+c_{2} t e^{-3 t}+e^{-2 t}\]
\[\rightarrow x(t)=-2 t e^{-3 t}+e^{-2 t}\]
¡Vamos a los ejercicios!
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