Método de los Coeficientes Indeterminados – Suma de Funciones

1. Método de los Coeficientes Indeterminados – Suma de Funciones

1. Solución Particular

2. Hola, regresaste!!!  Acabamos de ver la EDO no homogéneo de 2do orden, que es así

\[a y^{\prime \prime}(x)+b y^{\prime}(x)+c y(x)=f(x)\]

Y también vimos los casos de esta función \(f(x)\), que pueden ser: seno, coseno, polinomio o exponencial, es hora de hacer las cosas aún más interesantes ...

Recuerdas que aprendimos, ¿cómo resolvemos esto?

\[y^{\prime \prime}(x)-6 y^{\prime}(x)+8 y(x)=\operatorname{sen}(x)\]

¿Y qué harías si te encontraras con esto?

\[y^{\prime \prime}(x)-6 y^{\prime}(x)+8 y(x)=\operatorname{sen}(x)+x\]

"¡Entregaba la prueba en blanco!" ¡Nada de eso, lindx, entrega cuando hayas respondido las preguntas! ¿Vamos a ver cómo resolvemos esto y hacemos una excelente prueba? Hagámoslo!

Comenzando con ese ejemplo sensacional, ese que está ahí arriba: D

\[y^{\prime \prime}(x)-6 y^{\prime}(x)+8 y(x)=\operatorname{sen}(x)+x\]

¿Recuerdas el paso a paso? ¿No? Mira aquí:

3. Resolución de EDO no homogénea con coeficientes constantes

1. Resolver la EDO como si fuera homogénea-solución homogénea: yh

2. Encontrar la solución particular:\(y_{p}\)

3. Encontrar la solución general: \(y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)\)

Genial, continuando. La solución homogénea de este es \(y_{h}(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{4 x}\)

Vamos para la particular entonces. Bueno, si nuestro \(f(x)\) es una suma de funciones, nuestro \(y_{p}(x)\) también será una suma de funciones: D

Aquí está la tablita, en el caso de que hayas olvidado el valor que escogiste!

\[y_{p}(x)=\operatorname{Asen}(x)+B \cos (x)+C x+D\]

\[y_{p}^{\prime}(x)=\operatorname{Acos}(x)-\operatorname{Bsen}(x)+C\]

\[y_{p}^{\prime \prime}(x)=-A \operatorname{sen}(x)-B \cos (x)\]

¡Ten en cuenta que nuestra solución particular no está presente en la homogénea, por lo que podemos seguir siendo felices con nuestra sugerencia!

¿Entendiste la idea? Los dos primeros términos están relacionados con el seno y los otros dos están relacionados con el polinomio. 

Reemplazando en la EDO

Arreglando todo 

\[\operatorname{sen}(x)(6 B+7 A)+\cos (x)(-6 A+7 B)+8 C x-6 C+8 D=\operatorname{sen}(x)+x\]

Ahora vamos a comparar los coeficientes de ambos lados:

\[\left\{\begin{array}{c}{6 B+7 A=1} \\ {7 B-6 A=0} \\ {8 C=1} \\ {8 D-6 C=0}\end{array}\right.\]

Obteniendo \(A=7 / 85, B=6 / 85, C=1 / 8\) y \(D=3 / 32\)

\[y_{p}(x)=\frac{7 \operatorname{sen}(x)+6 \cos (x)}{85}+\frac{4 x+3}{32}\]

Y entonces

\[y(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{4 x}+\frac{7 \operatorname{sen}(x)+6 \cos (x)}{85}+\frac{4 x+3}{32}\]

¡Listo!

Ahora, no voy a resolver, solo voy a señalar cuáles serían las particulares, ¿ok? ¡Recuerda que en estos ejemplos ya he comparado la solución particular con la homogénea!

• \(y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\cos (2 x)+3 x^{2}\)

\[y_{p}(x)=\operatorname{Acos}(2 x)+B \operatorname{sen}(2 x)+C x^{2}+D x+E\]

• \(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-5 y=e^{2 x}+x+\operatorname{sen}(3 x)\)

\[y_{p}(x)=A e^{2 x}+B x+C+D \operatorname{sen}(3 x)+E \cos (3 x)\]

Amigo, no hay misterio, si \(f(x)\) es una suma de funciones, ¡tú tienes que adivinar una suma de funciones con coeficientes indeterminados!

¡Ahora ve a los ejercicios y que te vaya muy bien!