Método de Coeficientes Indeterminados

Método de Coeficientes Indeterminados

    1. 5. EDO de 2do Orden No Homogénea

  1. Método de los Coeficientes Indeterminados

 

Hola, ¿qué tal? ¿Cómo estás? Hoy vamos a estudiar EDO de 2do orden no homogénea. ¿Recuerdas la de orden homogénea? Ella era así:

\[a y^{\prime \prime}(x)+b y^{\prime}(x)+c y(x)=0\]

 

¡Todo el problema surgió cuando esa misma ecuación ya no era igual a cero! ¿Y ahora? ¡Eso es lo que estudiaremos en esta teoría! Una EDO de este tipo:

\[a y^{\prime \prime}(x)+b y^{\prime}(x)+c y(x)=f(x)\]

 

Donde \(a, b\) y \(c\) son constantes. La única diferencia entre una EDO homogénea y una EDO no homogénea es esta: en lugar de que el lado derecho sea igual a cero (homogéneo), es igual a una función de \(x\).

PERO TRANQUILO, MI ESTIMADO! No vamos a estudiar aquí ninguna función. Serán EDOs de este tipo:

\[y^{\prime \prime}(x)+2 y^{\prime}(x)+y(x)=e^{2 x}\]

 

\[3 y^{\prime \prime}(x)-4 y^{\prime}(x)-6 y(x)=x^{2}+x\]

 

\[5 y^{\prime \prime}(x)-7 y^{\prime}(x)+8 y(x)=\operatorname{sen}(3 x)\]

 

La función \(f(x)\), en general, va involucrar a lo sumo tres tipos de funciones:

  • Función exponencial: \(e^{d x}\)

  • Función polinómica: \(\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{n}}\)

  • Función trigonométrica:\(\cos (n x)\) o \(\operatorname{sen}(n x)\)

Para resolver las EDOs, se necesitan tres etapas:

  1. Resolver la EDO como se fuese homogénea – solución homogénea: yh(x)

  2. Encontrar la solución particular: \(y_{p}(x)\)

  3. Encontrar la solución general: \(y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)\)

La etapa 1 ya sabemos cómo hacerla, solo asumamos que el lado derecho de la ecuación es cero, haciendo de cuenta que es una EDO homogénea y entonces encontremos la solución homogénea \(y_{h}\).

La etapa 2 será el tema central de esta sección. Veamos paso a paso cómo encontrar el \(y_{p}\). Nada mejor que empezar con un ejemplo, ¿verdad?

\[y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+6 y(x)=x^{2}\]

Lo primero que debes hacer es: encontrar \(y_{h}\). Esto, es sólo resolver

\[y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+6 y(x)=0\]

 

\[r^{2}-5 r+6=0 \rightarrow r_{1}=2 \quad r_{2}=3\]

 

\[y_{h}=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}\]

 

Ahora, ¡vamos a lo particular! Amigo, la mejor parte de todo llegó, es el momento de hacer algo que sabemos desde la escuela: ¡adivinar!

Si tenemos un \(f(x)=x^{2}\), que es un polinomio, no hay nada más justo que adivinar un polinomio de segundo grado, ¿no crees?

\[y_{p}(x)=a x^{2}+b x+c\]

 

"Ahhh, pero solo hay \(x^{2}\) allí, ¿por qué poner \(b x\) y \(c\) también?" Tranquilo amigo, tienes que adivinar el polinomio por completo, no solo la parte que aparece, ¿vale?

Bien, ahora vamos a reemplazar todo en la EDO.

 \[\left(a x^{2}+b x+c\right)^{\prime \prime}-5\left(a x^{2}+b x+c\right)^{\prime}+6\left(a x^{2}+b x+c\right)=x^{2}\]

 

\[2 a-5(2 a x+b)+6\left(a x^{2}+b x+c\right)=x^{2}\]

Agrupando los términos semejantes

\[6 a x^{2}+x(6 b-10 a)+(2 a-5 b+6 c)=x^{2}\]

 

Ahora solo tenemos que comparar los coeficientes en ambos lados.

Por ejemplo, el que acompaña a \(x^{2}\) en un lado debe ser igual al que acompaña a \(x^{2}\) en el otro lado. El tipo que acompaña al \(x\) en un lado debe ser igual al que acompaña al \(x\) en el otro lado. Ese razonamiento debe ser seguido siempre, ¿de acuerdo?

\[\left\{\begin{array}{c}{6 a=1} \\ {6 b-10 a=0} \\ {2 a-5 b+6 c=0}\end{array}\right.\]

 

Por lo tanto, al resolver este sistema, encontramos los valores de \(a, b\) y \(c\), y los sustituimos en \(y_{p}(x)\):

\[y_{p}(x)=\frac{1}{6} x^{2}+\frac{5}{18} x+\frac{19}{108}\]

 

Y finalmente, llegamos a la etapa 3, encontrando la solución general \(y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)\)

\[y(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}+\frac{1}{6} x^{2}+\frac{5}{18} x+\frac{19}{108}\]

 

Terminamos este ejemplo. Ni siquiera duele, ¿no?

Un paso MUY IMPORTANTE es este: siempre que asumamos un \(y_{p}(x)\), necesitamos ver si nuestra sugerencia ya está presente en \(y_{h}(x)\). En el ejemplo anterior no hubo error, porque \(y_{p}(x)\) no estaba en \(y_{h}(x)\), pero no todo son flores.

Mira un ejemplo:

\[y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+6 y(x)=e^{2 x}\]

 

Este es el mismo caso que vemos ahora, a excepción de \(f(x)\), que es un exponencial. Ya hemos visto que la solución homogénea es \(y_{h}(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}\)

 

Como tenemos una exponencial, también adivinaremos una exponencial, con el mismo exponente, acompañada de una constante:

\[y_{p}(x)=A e^{2 x}\]

 

Super! Ahora nota que ese valor ya aparece en yh, ¿estás de acuerdo? Así que tenemos que arreglar ese pequeño detalle. ¿Cómo hacemos esto? Simplemente multipliquemos nuestro \(y_{p}(x)\) por x hasta que sea diferente del término que aparece en \(y_{h}\), así:

\[y_{p}(x)=A x e^{2 x}\]

 

\[y_{p}^{\prime}(x)=A e^{2 x}+2 A x e^{2 x}\]

 

\[y_{p}^{\prime \prime}(x)=4 A e^{2 x}+4 A x e^{2 x}\]

 

Listo, ahora los cálculos siguen: 

\[\left(A x e^{2 x}\right)^{\prime \prime}-5\left(A x e^{2 x}\right)^{\prime}+6 A x e^{2 x}=e^{2 x}\]

 

\[\left(4 A e^{2 x}+4 A x e^{2 x}\right)-5\left(A e^{2 x}+2 A x e^{2 x}\right)+6 A x e^{2 x}=e^{2 x}\]

 

Agrupando términos similares

\[-A e^{2 x}=e^{2 x}\]

 

Luego, comparando los coeficientes en ambos lados

\[A=-1\]

Entonces,

\[y_{p}(x)=-x e^{2 x}\]

\[y(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}-x e^{2 x}\]

 

Bien! Vayamos al último ejemplo, que tiene que ver con nuestras trigonométricas (seno o coseno)

\[y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+6 y(x)=\cos (x)\]

 

Nuevamente, \(y_{h}(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}\). Como nuestra \(f(x)=\cos (x)\) ... 

"Ahhh, ya sé, voy a adivinar \(y_{p}=A \cos (x)\), ¿verdad?" ¡NO! SIEMPRE que aparezca seno o coseno, ¡debes adivinar una combinación lineal de los dos! ¿Qué es eso? Es lo siguiente:

\[y_{p}(x)=\operatorname{Acos}(x)+\operatorname{Bsen}(x)\]

 

Entiendes? Ahora el procedimiento es el mismo. Vamos a verificar si está en la solución homogénea ... No lo está, porque la homogeneidad de este caso solo involucra exponencial. Podemos continuar:

\[y_{p}(x)=A \cos (x)+B \operatorname{sen}(x)\]

\[y_{p}^{\prime}(x)=-A \operatorname{sen}(x)+B \cos (x)\]

\[y_{p}^{\prime \prime}(x)=-A \cos (x)-B \operatorname{sen}(x)\]

Reemplazando en la EDO

\[-A \cos (x)-B \operatorname{sen}(x)-5(-A \operatorname{sen}(x)+B \cos (x))+6(A \cos (x)+\operatorname{Bsen}(x))=\cos (x)\]

 

Agrupando términos semejantes

\[\operatorname{sen}(x)(5 A+5 B)+\cos (x)(-5 B+5 A)=\cos (x)\]

 

Una vez más, vamos a comparar los coeficientes:

\[\left\{\begin{array}{c}{5 B+5 A=0} \\ {-5 B+5 A=1}\end{array}\right.\]

 

Obteniendo \(A=1 / 10\) e \(B=-1 / 10\)

Entonces

\[y_{p}(x)=\frac{\cos (x)-\operatorname{sen}(x)}{10}\]

 

\[y(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}+\frac{\cos (x)-\operatorname{sen}(x)}{10}\]

 

Hecho!

¡Es hora del tip! ¡Echa un vistazo a la tabla para que sepas qué valor escoger!

Wow, ¡he hablado mucho! ¡Guarda este paso a paso y practica los ejercicios!

    1. Paso a Paso

    2. 1. Resuelve la ecuación homogénea \(y_{h}\) (haz \(f(x)=0\)).

    3. 2. Identifica quién es\(f(x)\) y compárala con la tabla para determinar el valor que vas a escoger.

    4. 3. Compara la solución homogénea y la particular. Si es necesario se multiplica por \(x\) hasta que sean diferentes.

    5. 4. Adivina en la EDO y descubre \(y_{p}(x)\)

    6. 5. Si es un PVI / PVC, reemplaza los datos iniciales.

 

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