Método de Coeficientes Indeterminados – Producto de Funciones
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Método de Coeficientes Indeterminados – Producto de Funciones
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Solución Particular
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¡Hola! ¿Qué tal? Ahora que has visto que \(f(x)\) es una suma de funciones, debes estar pensando "Oh, no hay forma de esto esté peor, es imposible". ¿Y qué me dices de esto?
\[y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+6 y(x)=x^{2} e^{4 x}\]
¿Y qué tal si resuelves esto?
\[y^{\prime \prime}(x)-6 y^{\prime}(x)+5 y(x)=x \cos (x)\]
Jajaja relájate, te voy a mostrar cómo resolver este monstruito. ¡Ya verás que es fácil!
Vamos a comenzar con este ejemplo:
\[y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+6 y(x)=x^{2} e^{4 x}\]
¿Recuerdas cómo resolver EDO no homogénea? Toma aquí te dejo el paso a paso:
Resolución de EDO no homogénea con coeficientes constantes
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Resuelve la EDO como si fuera una homogénea- solución homogénea: yh
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Encuentra la solución particular: \(y_{p}\)
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Encuentra la solución general: \(y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)\)
Bueno, la solución homogénea de esta EDO es \(y_{h}=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}\)
Vamos a la particular. Ahora, fíjate que \(f(x)=x^{2} e^{4 x}\). ¿Estás de acuerdo conmigo en que es un polinomio de segundo grado multiplicado por un exponencial? Creo que es justo adivinar un polinomio multiplicado por un exponencial. Solo mira
\[y_{p 1}(x)=A x^{2}+B x+C\]
\[y_{p 2}(x)=D e^{4 x}\]
\[y_{p}(x)=y_{p 1}(x) y_{p 2}(x)\]
\[y_{p}(x)=\left(A x^{2}+B x+C\right) D e^{4 x}\]
\[y_{p}(x)=\left(D A x^{2}+D B x+D C\right) e^{4 x}\]
\[y_{p}(x)=\left(E x^{2}+F x+G\right) e^{4 x}\]
Es decir, ¡solo tenemos que poner las constantes en el polinomio! Ten en cuenta que nuestra sugerencia no aparece en la solución homogénea, por lo que podemos estar tranquilos con ella. A partir de aquí, es el mismo procedimiento de siempre, amigx.
\[y_{p}(x)=\left(E x^{2}+F x+G\right) e^{4 x}\]
\[y_{p}^{\prime}(x)=4\left(E x^{2}+F x+G\right) e^{4 x}+(2 E x+F) e^{4 x}\]
\[y_{p}^{\prime \prime}(x)=16\left(E x^{2}+F x+G\right) e^{4 x}+8(2 E x+F) e^{4 x}+(2 E) e^{4 x}\]
Reemplazando en la EDO
\[\begin{array}{c}{16\left(E x^{2}+F x+G\right) e^{4 x}+8(2 E x+F) e^{4 x}+(2 E) e^{4 x}} \\ {-5\left(4\left(E x^{2}+F x+G\right) e^{4 x}+(2 E x+F) e^{4 x}\right)+6\left(\left(E x^{2}+F x+G\right) e^{4 x}\right)=x^{2} e^{4 x}}\end{array}\]
Agrupando los términos semejantes:
\[x^{2} e^{4 x}(2 E)+x e^{4 x}(6 E+2 F)+e^{4 x}(3 F+2 E+2 G)=x^{2} e^{4 x}\]
Vamos a comparar los coeficientes en ambos lados:
\[\left\{\begin{array}{c}{2 E=1} \\ {6 E+2 F=0} \\ {3 F+2 E+2 G=0}\end{array}\right.\]
Obteniendo \(E=1 / 2, F=-3 / 2\) e \(G=7 / 4\)
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\[y_{p}(x)=\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{3}{2} x+\frac{7}{4}\right) e^{4 x}\]
\[y(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}+\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{3}{2} x+\frac{7}{4}\right) e^{4 x}\]
Listo!!! No fue tan difícil!
Ahora, voy a colocar aquí algunos ejemplos, simplemente mostrando cuáles serían las sugerencias, ¿ok? (¡Recuerda que ya estoy comparando con la solución homogénea de cada una!)
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\(y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)+y(x)=x e^{2 x}\)
\[y_{p}(x)=(A x+B) e^{2 x}\]
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\(y^{\prime \prime}(x)+y(x)=x^{2} \cos (x)\)
\[y_{p}(x)=\left(A x^{2}+B x+C\right)(D \cos (x)+E \operatorname{sen}(x))\]
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Mezclando todo...
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¿Qué pasa si te encuentras con este tipo de EDO?
\[y^{\prime \prime}(x)+y(x)=x^{2} \cos (x)+x e^{-x}+1\]
¡No entres en pánico! Esto no es otra cosa más que mezclar las dos cosas que hemos visto ahora: suma y producto.
Mira cómo quedaría la particular:
\[y_{p}(x)=\left(A x^{2}+B x+C\right)(D \cos (x)+E \operatorname{sen}(x))+(F x+G) e^{-x}+H\]
Genial! Vamos a practicar!!!
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