ou

Este contenido es exclusivo para usuarios registrados.

¡Regístrese gratis en el portal de ingeniería más grande!

Política de privacidad

Calculisto

Modelo - MAA y MF

Movimiento Armónico Amortiguado (MAA)

 

Los movimientos armónicos, en general, son movimientos que repiten un determinado patrón. El sistema de masa-resorte es un gran ejemplo.

 

 

¿Qué son los Movimientos Armónicos Amortiguados?

 

¡ESO MISMO! Son movimientos armónicos que de alguna manera tienen un "freno" que lo amortigua. Si pensamos en el sistema de masa-resorte, un "freno", o más bien una fuerza de amortiguación, puede ser la fuerza de resistencia del aire que siempre intenta detener la masa.

 

¿Entonces el sistema no se mantendrá balanceándose para siempre? ¡No! Se detendrá con el tiempo porque la fuerza resistente tomará energía del sistema hasta que se detenga. En este caso, la energía no se conserva!

 

Entre los muchos MHA que existen en la naturaleza, hablemos de lo que cae en la prueba: Massa-Mola con amortiguación. Veamos el ejemplo del sistema de masa-resorte sumergido en un fluido viscoso:

 

Lo primero que debes hacer es aplicar la Ley que describe el movimiento (Ley de Newton): por el diagrama de Fuerzas Libres… 

 

 

Tenga en cuenta que, en este caso, además del resorte con elástico constante \(k\), también tenemos una fuerza resistente, con constante de proporcionalidad \(c\). Por la ley de Newton, la fuerza resultante es la suma de las fuerzas:

 

\[F_{R}=F_{e l}+F_{\text {resistente}}\]

 

Imagina que el bloque está a la derecha del punto de equilibrio, moviéndose hacia la izquierda como en la figura.

 

La fuerza resistente del aire está dada por:

 

\[F_{\text {resistente}}=-c v\]

 

donde \(v\) es la velocidad y \(c\) es una constante de proporcionalidad. El signo menos se debe a que la fuerza resistente siempre apunta en la dirección opuesta al movimiento.

 

La fuerza elástica se da como:

 

\[F_{e l}=-k x\]

 

Donde \(k\) es la constante elástica y el signo menos es por la misma razón que el signo menos arriba.

 

Según Newton, la fuerza resultante está dada por la masa multiplicada por la aceleración… 

 

\[F_{R}=m a\]

 

Entonces tenemos:

 

\[F_{R}=F_{e l}+F_{\text {resistente}} \quad \Rightarrow \quad m a=-c v-k x \quad \Rightarrow\]

 

Pero \(a=\ddot{x}\) y \(v=\dot{x}\)

 

\[m \ddot{x}=-c \dot{x}-k x \quad \Rightarrow\]

 

\[m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=0\]

 

Vaya, es una EDO de segundo grado homogénea de coeficientes constantes, dividamos todo por la masa:

 

\[\ddot{x}+\frac{c}{m} \dot{x}+\frac{k}{m} x=0\]

 

Esa es la ecuación principal.

 

Así, podemos llamar

 

\[\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}\]

 

\(\omega_{0}\)=frecuencia natural sin amortiguación

 

Vamos a decir que:

 

\[\frac{c}{m}=2 \lambda\]

 

Entonces, tenemos:

 

\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0\]

 

Ya sabemos cómo resolver ese tipo de EDO. Veamos los 3 casos:

 

  • Caso \(1\): \(\Delta=0\)

 

  • Para \(\Delta=0\) tenemos:

 

\[r_{1}=r_{2}=-\frac{2 \lambda}{2(1)}=-\lambda\]

 

Entonces, tenemos:

 

\[x(t)=c_{1} e^{-\lambda t}+c_{2} t e^{-\lambda t}\]

 

Cuando \(\Delta=0\) decimos que el sistema es críticamente amortiguado.

 

  • Caso2: \(\Delta>0\)

 

Para \(\Delta>0\) tendremos:

 

\[r_{1}=\frac{-2 \lambda+\left(4 \lambda^{2}-4(1)\left(\omega_{0}^{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}}{2(1)}=\frac{-2 \lambda+2 \sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}}{2}=-\lambda+\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}\]

 

\[r_{2}=-\lambda-\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}\]

 

Entonces, tendremos:

 

\[x(t)=e^{-\lambda t}\left(c_{1} e^{\sqrt{\left(\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}\right)} t}+c_{2} e^{-\sqrt{\left(\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}\right)} t}\right)\]

 

Cuando \(\Delta>0\) decimos que el sistema es superamortiguado.

 

  • Caso 3: \(\Delta<0\)

 

Para \(\Delta<0\) tenemos:

 

\[r_{1}, r_{2}=\frac{-2 \lambda \pm\left(4 \lambda^{2}-4(1)\left(\omega_{0}^{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}}{2(1)}=\frac{-2 \lambda \pm 2 \sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}}{2}=-\lambda \pm \sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} i\]

 

\[x(t)=e^{-\lambda t}\left(c_{1} \cos (\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} t)+c_{2} \operatorname{sen}(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} t)\right)\]

 

Cuando \(\Delta<0\) decimos que el sistema es subamortiguado.

 

Movimiento Forzado \((MF)\)

 

Hasta ahora solo hablamos de movimientos realizados por fuerzas del sistema, ya sea el sistema sin fuerzas resistivas, como MHS, o con estas fuerzas como MHA. ¿Pero qué sucede si nosotros, fuera del sistema, tenemos fuerzas que influyen en el movimiento? Por ejemplo:

 

 

En este caso, debido al hecho de que tenemos la fuerza externa \(f(t)\) que arrastra la masa en el sistema, podemos considerarla como un Movimiento Forzado. El movimiento forzado todavía se puede amortiguar cuando las personas toman en cuenta las fuerzas de amortiguación, o que no se amortiguan.

 

Movimiento forzado con amortiguación

 

Cuando hablamos de movimiento forzado es cuando tiene una fuerza externa \(f(t)\) al movimiento. Por lo tanto, simplemente agregamos esta fuerza a la ecuación. En el caso de la amortiguación, tenemos:

 

\[F_{R}=-k x-c v+f(t) \quad \Longrightarrow \quad m \ddot{x}=-c \dot{x}-k x+f(t)\]

 

Dejando solo \(f(t)\) en el lado derecho y dividiendo por la masa:

 

\[\ddot{x}+\frac{c}{m} \dot{x}+\frac{k}{m} x=\frac{f(t)}{m}=F(t)\]

 

Sustiyendo por lo que vimos encima:

 

\[\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}\]

 

\[\frac{c}{m}=2 \lambda\]

 

Tenemos que:

 

\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=F(t)\]

 

Pero tranquilo, el lado izquierdo sigue siendo el mismo que el movimiento amortiguado y el lado derecho tiene una función en \(t\). Esto ya hemos visto cómo se resuelve, esta es una ecuación no homogénea. Así que, la solución es de la siguiente forma:

 

\[x(t)=x(t)_{h o m o g e n e a}+x(t)_{p a r t i c u l a r}\]

 

La solución homogénea que ya hemos visto cómo resolver y la particular dependerá de \(F (t)\).

 

Veamos ahora el caso sin amortiguar, que es prácticamente lo mismo.

 

Movimiento forzado sin amortiguación

 

Este caso es aquel que no posee el término de amortiguación, en este caso:

 

\[F_{\text {resistente}}=-c v\]

 

Entonces, la ecuación será:

 

\[\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=F(t)\]

 

Como puedes ver esta ecuación tampoco es homogénea y debe resolverse de tal forma que encuentres una solución homogénea y la solución de la ecuación particular.

 

Vamos a resolver un ejemplo para entender mejor. 

 

Ejemplo:

 

Sea un sistema de masa-resorte amortiguado con:

 

\[m=1 k g y k=9\]

 

Sea una fuerza de amortiguación: \(g(t)=6 v\)

 

Y una fuerza externa activa: \(f(t)=e^{-2 t}\)

 

Con las condiciones iniciales: \(x(0)=1\) y \(x^{\prime}(0)=-4\)

 

Entonces, encuentre \(x(t)\):

 

Paso 1:

 

Vamos a escribir la ecuación de movimiento. Que es:

 

\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=F(t)\]

 

Donde:

 

\[2 \lambda=6, \omega_{0}^{2}=9 e f(t)=e^{-2 t}\]

 

Entonces:

 

\[x^{\prime \prime}+6 x^{\prime}+9 x=e^{-2 t}\]

 

Paso 2:

 

Vamos a hallar una solución homogénea:

 

\[x^{\prime \prime}+6 x^{\prime}+9 x=0\]

 

Ya sabemos cómo resolver esta EDO.

 

Ecuación característica:

 

\[r^{2}+6 r+9=0\]

 

Raíces:

 

\[r_{1}=r_{2}=-3\]

 

Solución de la homogénea:

 

\[x_{h}(t)=c_{1} e^{-3 t}+c_{2} t e^{-3 t}\]

 

Paso 3:

 

Vamos a hallar \(x_{p}(x)\) con coeficientes a determinar:

 

Como \(f(t)\) es una exponencial, \(x_{p}(x)\) también será un exponencial del igual exponente:

 

\[x_{p}(x)=A e^{-2 t}\]

 

Paso 4:

 

Hallar las derivadas de \(y_{p}(x)\):

 

\[\left\{\begin{array}{c}{x_{p}(x)=A e^{-2 t}} \\ {x_{p}^{\prime}(x)=-2 A e^{-2 t}} \\ {x_{p} \quad^{\prime}(x)=4 A e^{-2 t}}\end{array}\right.\]

 

Paso 5:

 

Vamos a sustituir en la ecuación y hallar las constantes:

 

\[x^{\prime \prime}+6 x^{\prime}+9 x=2 e^{-2 t}\].

 

\[\left(4 A e^{-2 t}\right)+6\left(-2 A e^{-2 t}\right)+9\left(A e^{-2 t}\right)=e^{-2 t}\]

 

\[A e^{-2 t}=e^{-2 t}\]

 

\[\rightarrow A=1\]

 

Paso 6:

 

Entonces, la solución general es:

 

\[x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)\]

 

\[y(x)=\left[c_{1} e^{-3 t}+c_{2} t e^{-3 t}\right]+\left[e^{-2 t}\right]\]

 

\[x(t)=c_{1} e^{-3 t}+c_{2} t e^{-3 t}+e^{-2 t}\]

 

Paso 7:

 

Vamos aplicar las condiciones iniciales:

 

Calculando la derivada:

 

\[x^{\prime}(t)=\left(c_{2}-3 c_{1}+-3 c_{2} t\right) e^{-3 t}-2 e^{-2 t}\]

 

Calcular \(x(0)\) y \(x^{\prime}(0)\):

 

\[x(0)=c_{1}+1\]

 

\[x^{\prime}(0)=c_{2}-3 c_{1}-2\]

 

Sustituir las condiciones iniciales dadas:

 

\[\left\{\begin{array}{c}{x(0)=1} \\ {x^{\prime}(0)=-4}\end{array}\right.\]

 

\[\rightarrow\left\{\begin{array}{c}{c_{1}+1=1} \\ {c_{2}-3 c_{1}-2=-4}\end{array}\right.\]

 

Resolviendo el sistema:

 

\[\left\{\begin{array}{c}{c_{1}=0} \\ {c_{2}=-2}\end{array}\right.\]

 

Sustituyendo la solución general, encontramos la solución particular del PVI:

 

\[x(t)=c_{1} e^{-3 t}+c_{2} t e^{-3 t}+e^{-2 t}\]

 

\[\rightarrow x(t)=-2 t e^{-3 t}+e^{-2 t}\]

 

 

¡Vamos a los ejercicios!

Hay un error?

Todos los Resúmenes