Introducción al Equilibrio Estático

Condiciones para el Equilibrio Estático

Es importantísimo que un edificio se construya de forma que garantice a sus habitantes seguridad y estabilidad, a pesar de los vientos y la fuerza de gravedad. Lo mismo ocurre con un puente, un túnel o cualquier otra obra civil.

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A pesar de que está inclinada, todavía no se ha caído, lo que significa que está en equilibrio estático.

Estudiemos ahora las condiciones necesarias para que un cuerpo sea considerado en equilibrio estático.

Lo primero que hay que resaltar es que un cuerpo es diferente a una partícula. Una partícula tiene dimensiones despreciables, mientras que un cuerpo tiene dimensiones bien definidas. En diversos campos de la física, trabajamos con partículas. En el estudio de la estática, trabajaremos con cuerpos.

Para que un cuerpo sea considerado en equilibrio estable son necesarias dos condiciones:

• La sumatoria de las fuerzas externas debe ser cero

• La sumatoria de los torques externos en relación con cualquier punto debe ser cero 

Vamos a analizar cada uno por separado:

Suma de Fuerzas igual a cero

Una de las condiciones para la caja de la figura antedicha esté en equilibrio estático es que la fuerza \[\vec{P}\] y la fuerza \[\vec{N}\] se anulen y que la fuerza \[\vec{F}\] y la fuerza \[\overrightarrow{F a t}\] también se anulen. Eso garantiza que la sumatoria de fuerzas sea cero. 

Por lo tanto, concluimos que para que la fuerza resultante sea cero, la sumatoria de fuerzas debe ser cero tanto en el eje \[x\] , como en el eje \[y\] .

\[\sum \vec{F}_{x}=0\]

\[\sum \vec{F}_{y}=0\]

Sumatoria de los torques externos igual a cero 

El torque de un cuerpo, también llamado momento, es la magnitud que mide la intensidad que hace girar un cuerpo.

Está dado por el producto vectorial entre el vector posición y el vector fuerza.

\[\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\]

La mayoría de las veces, simplemente podemos calcular el módulo de torsión y pensar en el sentido del giro

El módulo viene dado por la siguiente fórmula:

\[\overrightarrow{|\tau|}=\overrightarrow{|r|} \overrightarrow{|F|} \operatorname{sen} \theta\]

Es decir, el vector fuerza y el vector posición hacen, entre sí, un ángulo de \[90^{\circ}\] . La fórmula se reduce a:

\[\overrightarrow{|\tau|}=d F\]

\[d\] es la distancia desde la aplicación de la fuerza hasta el punto de rotación. Es importante señalar que en algunos casos puede ser útil calcular el momento en relación con un eje.

Una de las condiciones necesarias para la existencia de un equilibrio estático es que el momento o torque resultante sea cero.

\sum \vec{\tau}=0

Lo podemos ejemplificar de la siguiente manera. En la figura anterior hay una barra de masa despreciable sobre un soporte triangular en equilibrio estático.

Para que la condición de torque resultante sea igual a cero, es necesario que el momento provocado por \[\overrightarrow{F_{1}}\] respecto al punto de apoyo se anule con el momento provocado por \[\overrightarrow{F_{2}}\] respecto a ese mismo punto.

Nos damos cuenta de que el sentido de giro de \[\overrightarrow{M_{2}}\] es horario y el sentido de giro de \[\overrightarrow{M_{1}}\] es antihorario.

Por convención, normalmente definimos el sentido antihorario como positivo.

Por lo tanto, si la barra está en equilibrio estático, podemos ensamblar la siguiente ecuación:

\[\sum \vec{\tau}=0\]

\[\overrightarrow{M_{1}}+\overrightarrow{M_{2}}=0\]

\[\left(F_{1} d_{1}\right)-\left(F_{2} d_{2}\right)=0\]

¡Listo! La ecuación de torque resultante en el equilibrio estático está montada. Dependiendo de las incógnitas de los problemas, puede ser necesario montar un sistema con el torque resultante y las fuerzas resultantes.

Ahora, imagina que la masa de la barra no fuera despreciable, ¿cómo entraría el peso de la barra en el problema?

En este caso, el peso se concentra en el centro de gravedad de la barra, como si toda la fuerza gravitacional se aplicara sobre un solo punto.

De esta manera, el momento generado por la fuerza de peso, será el producto entre la distancia del centro de gravedad del objeto hasta el punto de rotación y la fuerza de peso.

¡Si un cuerpo está en un campo gravitacional uniforme, el centro de gravedad y el centro de masa coinciden! ¡En la mayoría de los casos será así!

Ejemplo

Ahora que has visto las dos condiciones por separado, vamos a analizar un ejemplo que incluya las dos condiciones.

Es la misma barra del ejemplo anterior, apoyada en un soporte triangular en equilibrio estático.

La diferencia es que tenemos la normal y el peso de la barra no es despreciable, es decir, podemos poner toda la fuerza de peso concentrada en un solo punto: el centro de gravedad.

Usaremos entonces las ecuaciones de fuerza resultante y torque resultante. Como sólo tenemos fuerzas en el eje \[y\] , calcularemos sólo en ese eje.

\[\sum \vec{F}_{y}=0\]

\[\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{2}}+\vec{N}+\vec{P}=0\]

\[N-F_{1}-F_{2}-P=0\]

Al elegir el punto de apoyo como eje de rotación,  podemos ensamblar la ecuación de momento.

\[\sum \vec{\tau}=0\]

\[\overrightarrow{M_{1}}+\overrightarrow{M_{2}}+\overrightarrow{M_{3}}=0\]

\[\left(F_{1} d_{1}\right)-\left(F_{2} d_{2}\right)-\left(F_{3} d_{3}\right)=0\]

Cuando elegimos el punto de apoyo como eje de rotación, el momento de la reacción es nulo, pues la línea de acción de la fuerza pasa por el punto de rotación. También podemos pensar que la distancia será nula.

¡Cool! En la mayoría de los ejercicios, el paso a paso será este: montar las ecuaciones de equilibrio estático y resolver los sistemas, encontrando las incógnitas.

¿Vamos a hacer los ejercicios?