Refracciones Múltiples

A veces los profesores intentan poner algunas preguntas en una prueba o lista de ejercicios con la que creen que pillaran al estudiante desprevenido.

Son preguntas aparentemente super complicadas, pero existen ciertos trucos para poder resolverlas.

Veamos un ejemplo:

Un rayo de luz se propaga en el aire, e incide en una placa de vidrio, con índice de refracción \(n_{1}\) con un ángulo de incidencia de \(37,73^{\circ}\)

La interfaz aire/vidrio es plana y la luz que se refracta en el vidrio después incide en otra interfaz con un nuevo material con índice de refracción \(n_{2}\). Esta nueva interfaz es paralela a la anterior. 

¡La luz que se refracta en ese material luego se refracta en otro material, y después en otro, y así sucesivamente, con todas las interfaces paralelas!

Esto se repite treinta veces, hasta que la luz sale del último material de vuelta al aire.

La pregunta es: ¿Cuál es el ángulo que el rayo luminoso que sale del sistema hace con la normal a la superficie?

Cuando tenemos interfaces paralelas, el ángulo de refracción que la luz hace en un medio y el ángulo de incidencia que hace en el medio siguiente son iguales!

Ya que las interfaces son paralelas, las rectas normales a ellas también lo serán.

Eso nos permite usar la Ley de Snell varias veces con los mismos ángulos de refracción e incidencia:

\(n_{a r} \operatorname{sen}\left(\theta_{i}\right)=n_{1} \operatorname{sen}\left(\theta_{1}\right)=n_{2} \operatorname{sen}\left(\theta_{2}\right)=\ldots=n_{29} \operatorname{sen}\left(\theta_{29}\right)=n_{30} \operatorname{sen}\left(\theta_{30}\right)=n_{a r \operatorname{sen}}\left(\theta_{s}\right)\)

Donde \(\theta_{i}\) es el ángulo de incidencia del airea en el medio \(1\) y \(\theta_{s}\) es el ángulo del rayo luminoso que sale del conjunto de vuelta al aire.

Ya que todos los términos son iguales, podemos simplemente tomar el primero y el último:

\(n_{a r} \operatorname{sen}\left(\theta_{i}\right)=n_{a r} \operatorname{sen}\left(\theta_{s}\right)\)

\(\theta_{i}=\theta_{s} \rightarrow \theta_{s}=37,73^{\circ}\)

Cortando los índices de refracción uno con el otro, y como los ángulos son más pequeños que \(90^{\circ}\), podemos decir que el ángulo de salido es igual al ángulo de entrada del radio luminoso. Independientemente de cuantos materiales coloquemos en la trayectoria del rayo. 

Podríamos usar el mismo razonamiento para hallar el ángulo del rayo en cualquiera de los materiales:

\(n_{a r} \operatorname{sen}\left(\theta_{i}\right)=n_{i} \operatorname{sen}\left(\theta_{i}\right)\)

Porque todo es lo mismo.

Y ni siquiera tenía que ser aire al principio. Podemos tomar dos términos en medio de las igualdades.

\(n_{i} \operatorname{sen}\left(\theta_{i}\right)=n_{j} \operatorname{sen}\left(\theta_{j}\right)\)

Vamos a los ejercicios, sin que nos tomen desprevenidos.