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Calculisto

Derivadas

¿Recuerdas aquel límite que te presentamos en el capítulo introductorio como una definición de derivada? Este límite:

 

\[f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]

 

Como ya dije (y el título del capítulo ya lo dice, ¿verdad?), esa es la definición de la derivada! Para cualquier \(f(x)\) podemos calcular su derivada por ese límite que tenemos arriba.

 

¡Y es exactamente eso que este capítulo se propone! Aquí vamos a ver funciones diversas y calcular sus funciones derivadas para todo \(\mathcal{x}\).

 

NOTA: Por la dificultad para calcular, es difícil que por ahora sea pedido que calcules la definición de la derivada para funciones como \(f(x)=\operatorname{sen}(x), f(x)=\ln (x), f(x)=e^{x}\) y otras funciones no polinómicas.

 

Ej: Calcule la derivada de \(f(x)=2 x+3\)

 

Vamos a la definición

 

\[f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]

 

Ahora tenemos que aplicar \((x+\Delta x)\) y \((x)\) en la función \(f(x)\), así como tenemos en el numerador de la definición \((f(x+\Delta x)-f(x))\):

 

\[\\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2(x+\Delta x)+3)-(2 x+3)}{\Delta x}\]

 

\[=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 x+2 \Delta x+3-2 x-3}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 \Delta x}{\Delta x}\]

 

Cancelamos \(\Delta x\):

 

\[\\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 \Delta x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 2=2\]

 

¡O sea, \(f^{\prime}(x)=2\) para \(f(x)=2 x+3 !\) Es un resultado que tiene bastante sentido, ya que \((2 x+3)\) es una recta, que es un comportamiento que mantiene siempre la misma razón de variación para todo \(\mathcal{x}\), la cual es representada por la derivada.

 

Ej: Calcule la derivada de \(f(x)=x^{3}+4 x-2\)

 

Vamos a la definición

 

\[f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]

 

Ahora tenemos que aplicar \((x+\Delta x)\) y \((x)\) en la función \(f(x)\), así como tenemos en el numerador de la definición \((f(x+\Delta x)-f(x))\):

 

\[\\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left((x+\Delta x)^{3}+4(x+\Delta x)-2\right)-\left(x^{3}+4 x-2\right)}{\Delta x}\]

 

\[=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left(x^{3}+3 x^{2} \Delta x+3 x \Delta x^{2}+\Delta x^{3}+4 x+4 \Delta x-2\right)-\left(x^{3}+4 x-2\right)}{\Delta x}\]

 

Vamos a cancelar todos los elementos que se repiten:

 

\[=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+3 x^{2} \Delta x+3 x \Delta x^{2}+\Delta x^{3}+4 x+4 \Delta x-2-x^{3}-4 x+2}{\Delta x}\]

 

\[=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{3 x^{2} \Delta x+3 x \Delta x^{2}+\Delta x^{3}+4 \Delta x}{\Delta x}\]

 

Dividimos por \(\Delta x\):

 

\[\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 3 x^{2}+3 x \Delta x+\Delta x^{2}+4\]

 

\[=3 x^{2}+3 x(0)+(0)^{2}+4\]

 

\[=3 x^{2}+4\]

 

Entonces, la derivada de \(f(x)=x^{3}+4 x-2\) es \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}+4\)

 

NOTA: La definición de derivada puede ser calculada usando otra fórmula

 

\[f^{\prime}(x)=\lim _{k \rightarrow x} \frac{f(k)-f(x)}{k-x}\]

 

El paso a paso es igualito, la única diferencia es que el límite a veces puede ser más fácil de resolver usando esa fórmula.

 

¡Eso es todo! Ahora solo debes practicar bien esa definición.

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