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Primitivas
Mira la siguiente función:
\[f^{\prime}(x)=3 x^{2}\]
Como puedes ver, es una función derivada cuyo resultado es \(3 x^{2}\).
Y si te pregunto: ¿qué función \(f(x)\) es esa?
Es un poco complicado porque sabes cómo hallar la derivada de la función, sin embargo, ¿cómo haces la operación inversa?
Este es el punto en que entran en juego las primitivas, para hallarlas solo debes seguir el camino inverso de la derivada.
Entonces, vamos a pensar:
Cuando queremos derivar un polinomio, restamos un grado en el numerador. Entonces, en sentido inverso, vamos a sumarle:
\[3 x^{2+1}=3 x^{3}\]
Además, al derivar multiplicamos por el denominador, sin embargo, para la primitiva vamos a dividir:
\[\frac{3 x^{3}}{3}=x^{3}+C\]
\(\mathrm{C}\) representa una constante cualquiera (siempre aparece en las primitivas).
Esto se debe al hecho de que, cuando derivamos, todas las constantes se pierden y cuando intentamos volver a través de la primitiva, al no saber que constante era, es representada por la letra \(\mathrm{C}\).
Primitivas más comunes
\(\bullet\) Funciones constantes \(f(x)=k\):
Cuando tenemos una función constante, para hacer la primitiva solo necesitamos colocar una variable derivada \({x}\) junto con la constante.
Primitiva:
\[k \rightarrow k x+C\]
Ej:
\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\]
Una primitiva es:
\[\frac{1}{2} x+C\]
\(\bullet\) Función polinomial:
En las primitivas, sumamos un grado y dividimos por el exponente.
Primitiva:
\[x^{n} \rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\]
Ej:
\[f^{\prime}(x)=3 x^{2}\]
Una primitiva es:
\[\frac{3 x^{2+1}}{2+1}+C \rightarrow x^{3}+C\]
\(\bullet\) Funciones trigonométricas:
Primitiva de \(f^{\prime}(x)=\operatorname{sen} x\):
\[-\cos (x)+C\]
Primitiva de \(f^{\prime}(x)=\cos x\):
\[\operatorname{sen}(x)+C\]
Primitiva de \(f^{\prime}(x)=\operatorname{tg}(x) \sec (x)\):
\[\sec (x)+C\]
Primitiva de \(\operatorname{cotg}(x) \csc (x)\):
\[-\csc (x)+C\]
Primitiva de \(f^{\prime}(x)=\cosh (x)\):
\[\operatorname{senh}(x)+C\]
Primitiva de \(f^{\prime}(x)=\sec ^{2}(x)\):
\[\operatorname{tg}(x)+C\]
\(\bullet\) Otras funciones especiales:
Primitiva de \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\)
\[\ln |x|+C\]
Primitiva de \[f^{\prime}(x)=e^{k x}\]
\[\frac{e^{k x}}{k}+C\]
¿Y con derivadas de orden superior?
Las primitivas pueden tener derivadas de órdenes superiores, por ejemplo, queremos \(f(x)\) donde
\[f^{\prime \prime}(x)=2\]
Recuerda que la derivada de \(2^{do}\) orden será:
\[f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}\]
Entonces, pensando en la primitiva, que función tiene derivada \(2\)? Será \(2x\), por el método, sin olvidar la constante. Entonces, la función de la derivada será \(2x\) más la constante.
\[f^{\prime}(x)=2 x+C\]
Volviendo a la derivada, vamos a pensar en lo mismo. La primitiva de \(2 x\) será \(x^{2}\). La de la constante será \(C x\), por el método. También tenemos que sumar la constante.
\[f(x)=x^{2}+C x+D\]
Esa es la función que tiene la segunda derivada siendo \(2\). Para hallarla solo debes seguir el proceso anterior. Presta atención, porque aparecerán varias constantes que pueden ser diferentes, entonces una letra para cada una.
Problema de Valor Inicial
Recuerdas que hallamos las funciones primitivas y colocamos una constante \(C\) aleatoria en el resultado, ¿verdad? Ahora el asunto es, a través de un valor dado por el ejercicio, descubrir esa constante. Esto es conocido como el Problema de Valor Inicial, o PVI.
Veamos un ejemplo.
Ej: determine la función \(f(x)\) donde \(f^{\prime}(x)=2 x\) y \(f(2)=3\).
¿Cuál es la función cuya derivada es \(2 x\)? Este es el ejemplo inicial. La primitiva será
\[f(x)=x^{2}+C\]
No podemos olvidar colocar la constante. Ten en cuenta que esta vez queremos que \(f(2)=3\). ¿Qué significa eso? La función que encontramos necesita obedecer esa condición.
Entonces, tendremos
\[f(2)=2^{2}+C=3\]
\[4+C=3\]
\[C=−1\]
¡Ahora la constante es un valor específico!
¿Entendiste todo? ¡Vamos a los ejercicios!
Hay un error?Ir al Siguiente Capitulo: Aplicaciones de la Derivada