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Propiedades de las Derivadas
Multiplicación por Constante
Vamos a aprender a derivar cualquier tipo de función. Vamos a comenzar con la derivada de una función multiplicada por una constante.
\[(k f(x))^{\prime}=k f^{\prime}(x)\]
Donde \(k\) es una constante. Basta derivar la función sin la constante y multiplicar por la constante después.
Suma y Resta
Ahora vamos a ver la derivada de una suma o sustracción de una función. Aquí la suma y sustracción continua
\[f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\]
Y
\[f(x)-g(x) )^{\prime}=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\]
¿Hasta ahí todo bien, correcto? Nada especial
Derivada de la Función Constante
Dado que \(f(x)\), donde \(k\) es una constante cualquiera. Entonces
\[f^{\prime}(x)=0\]
Cualquiera, DE VERDAD.
Por ejemplo
\[f(x)=3\]
\[f(x)=1,78646\]
\[f(x)=π\]
¿Cuál es la derivada de \(f(x)\)? Siempre \(0\).
Así, la derivada de una constante cualquiera va a ser CERO.
Derivada de un Polinomio
El asunto es saber la derivada de un polinomio cualquiera \(x^{n}\). Bien, el resultado de eso:
\[f^{\prime}(x)=n x^{n-1}\]
Basta multiplicar el polinomio por \(n\) y sustraer \(1\) en el \(n\) del exponente de \(x\)
Ejemplos:
\[f(x)=x^{5} \rightarrow f^{\prime}(x)=(5) x^{5-1}=5 x^{4}\]
NOTA: Esa derivada vale para cualquier \(n\).
\[f(x)=\frac{1}{x^{2}} \rightarrow f^{\prime}(x)=\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=\left(x^{-2}\right)=-2 x^{-2-1}=-2 x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}\]
\[f(x)=x^{\frac{1}{2}} \rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\]
\[f(x)=x^{\pi} \rightarrow f^{\prime}(x)=\left(x^{\pi}\right)^{\prime}=\pi x^{\pi-1}\]
Complicado, pero es así.
Podemos mezclar polinomios con las propiedades anteriores:
\[v(t)=a t \rightarrow v^{\prime}(t)=a(t)=a \cdot\left(1 t^{1-1}\right)=a t^{0}=a\]
\[y(x)=3 x^{17} \rightarrow y^{\prime}(x)=3\left(x^{17}\right)=3 \cdot\left(17 x^{17-1}\right)=51 x^{16}\]
Agrupando todo:
\[f(x)=x^{3}-7 x+2 x^{2}+9\]
Primero hacemos la multiplicación por constante:
\[f^{\prime}(x)=\left(x^{3}\right)^{\prime}-(7 x)^{\prime}+\left(2 x^{2}\right)+(9)=\left(x^{3}\right)^{\prime}-7(x)+2\left(x^{2}\right)+(9)\]
Ahora derivamos el polinomio
\[f^{\prime}(x)=\left(3 x^{3-1}\right)-7\left(1 . x^{1-1}\right)+2\left(2 x^{2-1}\right)+(0)=3 x^{2}-7+4 x\]
Derivada de Orden Superior a 1
¿Orden? WTF bro... Calma, mira la función \(f(x)=x^{7}\) la derivada va a ser
\[f^{\prime}(x)=7 x^{6}\]
Podemos derivarla de nuevo,
\[\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}=7.6 x^{5}=42 x^{5}\]
¿Cuántas veces derivé la función original? \(2\) verdad? Entonces es una derivada de \(2^{do}\) orden.
¿Y si ahora queremos la derivada de \(3^{er}\) orden de esa \(f(x)\)? Solo debemos derivar de nuevo
\[\left(\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}\right)=42.5 x^{4}=210 x^{4}\]
Puedo hacer eso eternamente. Mira que el orden nada más es la cantidad de veces que derivamos esta función. Entonces, si quiero el orden 7546 necesito derivar 7546 veces hasta llegar en la que quiero.
¿Necesito estar escribiendo esos millones de rayitas con millones de paréntesis? Nada que ver. La notación de las derivadas de orden superior es similar a la de antes
\[\text{Orden 2} \Longrightarrow f^{\prime \prime}(x)\]
\[\text{Orden 3} \Longrightarrow f^{\prime \prime \prime}(x)\]
\[\text{Orden 4} \Longrightarrow f^{(4)}(x)\]
Hasta el orden 3 pones rayitas, pero todo junto. A partir del orden 4 solo debes poner el número junto a la función entre paréntesis.
Otra forma de escribir es
\[\text{Orden 2} \Longrightarrow \frac{d^{2} f}{d x^{2}}\]
\[\text{Orden 3} \Longrightarrow \frac{d^{3} f}{d x^{3}}\]
\[\text{Orden 4} \Longrightarrow \frac{d^{4} f}{d x^{4}}\]
Coloca el número del orden con el \(d\) elevado, y abajo coloca el \(x\) elevado a eso.
\[\text{Orden }n \Longrightarrow \frac{d^{n} f}{d x^{n}}\]
¡¡¡Vamos a los Ejercicios!!!!
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