Derivación Implícita

Una aplicación interesante de la regla de la cadena es cuando tenemos una función implícita.

Te pueden pedir la derivada de \(y\) con respecto a \(x\) sin que tengas una forma explícita del tipo:

\[y=f(x)\]

Pero si algo como:

\[x^{2}+y^{2}=1\]

Aquí no tenemos una función, es apenas una relación entre \(x\) y \(y\).

Mira que podemos encontrar su derivada, aun así. ¡Vamos a intentar calcularla, entonces! 

Vamos siempre a comenzar de la misma forma para resolver esas derivadas: tomar la derivada con respecto a \(x\) en ambos lados de la ecuación.

\[x^{2}+y^{2}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{d x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\frac{d}{d x}(1)\]

Como la derivada de una constante es \(0\)...

\[\frac{d}{d x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0\]

Y la derivada de la suma es la suma de las derivadas…

\[\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+\frac{d}{d x}\left(y^{2}\right)=0\]

No te asustes con esas derivadas, que te voy a presentar ahora un método excelente para la resolución de esas derivadas:

\(1-.\) Primero vas a derivar normalmente cada una de esas incógnitas:

\[2x \underline{\hspace{1cm}}+2y \underline{\hspace{1cm}} =0\]

\(2-.\) Nuestra segunda misión será completar esos vacíos. Para hacer eso, vas a poner la derivada nuevamente en el hueco:

\[2 x \frac{d}{d x}+2 y \frac{d}{d x}=0\]

\(3-.\) Delante de las derivadas, vas a poner las variables que derivaste, mira bien:

\[\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)+\frac{d}{d x}\left(y^{2}\right)=0 \quad \rightarrow \quad 2 x \frac{d x}{d x}+2 y \frac{d y}{d x}=0\]

En el primero ponemos el  \(x\), debido a que fue en relación a él que derivamos, y en el segundo el \(y\).

El término \(d x / d x\) es siempre igual a \(1\) y el \(d y / d x=y^{\prime}\) (la derivada de y con relación a \(x\) que buscábamos implícitamente) 

\[2 x+2 y y^{\prime}=0\]

Podemos entonces seguir con nuestro problema, aislando el \(y^{\prime}\) que era el que se quería:

\[2 y \cdot y^{\prime}+2 x=0 \Rightarrow\]

\[y^{\prime}=-\frac{x}{y}\]

OBS: Mira que en ese tipo de problema es muy común que el resultado tenga tanto \(x\) como \(y\) en la respuesta, no hay ningún problema.

Otro detalle, si en un problema aparecen mezclas de \(x\) y \(y\) como producto o cociente, como en:

\[x^{2} y=2\]

Solo debes usar la regla del producto y cociente normalmente, aplicando el truco de arriba:

\(1-.\) Primero:

\[\frac{d}{d x}\left(x^{2} y\right)=\frac{d}{d x}(2) \rightarrow\]

\[\frac{d}{d x}\left(x^{2} y\right)=0 \quad \rightarrow\]

Aplicando la regla del producto en el primer paréntesis

\[\frac{d}{d x}\left(x^{2} y\right)=x^{2} \frac{d}{d x}(y)+y \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)=0\]

\(2-.\) Segundo:

\[x2\underline{\hspace{1cm}}+2xy\underline{\hspace{1cm}}=0\]

\(3-.\) Tercero:

\[x^{2} \frac{d y}{d x}+2 x y \frac{d x}{d x}=0 \rightarrow\]

\[x^{2} y^{\prime}+2 x y=0 \rightarrow\]

\[y^{\prime}=-\frac{2 y}{x} \quad, \quad \text { para } x \neq 0\]

Con la práctica vas a entenderlo mejor y hacerlo sin pasar por el paso 2 ;)

¡Para que eso ocurra antes del examen, vamos a los ejercicios!