Derivadas de Funciones Trigonométricas

Queremos derivar

\[f(x)=\operatorname{sen} x\]

Que difícil, ¿cómo hacemos? Esa cosa no es un polinomio como vimos. Relájate joven, existe una regla para seno y coseno también.

\[(\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos (x)\]

\[(\cos (x))^{\prime}=-\operatorname{sen}(x)\]

Las demostraciones las vamos a dejar a cargo del lector. Estoy bromeando. Demostrar eso es muy trabajoso, entonces vamos apenas saber el valor de las derivadas.

En trigonometría no solo existen el seno y el coseno, ¿cómo hacemos las otras? 

Existen 4 otras funciones relevantes dentro de esas trigonométricas: la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente. Sus derivadas van a ser

\[(\operatorname{tg}(x))^{\prime}=\sec ^{2}(x)\]

\[(\sec (x))^{\prime}=\operatorname{tg}(x) \sec (x)\]

\[(\operatorname{cotg}(x))^{\prime}=-\operatorname{cossec}^{2}(x)\]

\[(\operatorname{cossec}(x))^{\prime}=-\operatorname{cossec}(x) \operatorname{cotg}(x)\]

Un detalle importante, acuérdate de cómo todas ellas se relacionan:

\[\sec (x)=\left(\frac{1}{\cos (x)}\right) ; \operatorname{cossec}(x)=\left(\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}\right) ; \operatorname{cotg}(x)=\left(\frac{1}{\operatorname{tg}(x)}\right)\]

Y siempre es bueno recordar la relación fundamental:

\[\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\]

Pero, tenemos un truco para aprender esas derivadas:

\[\left[\begin{array}{ccc}{\operatorname{tg} x} & {\sec x} & {\sec x} \\ {\operatorname{cotg} x} & {-\operatorname{cossec} x} & {\operatorname{cossec} x}\end{array}\right]\]

Esa tablita es fácil de aprender, ¿correcto? A propósito, ten cuidado con el signo de menos que aparece en la cosecante de en medio para que no se te olvide.

A partir de esa pequeña tablita sólo necesitas “caminar” para el lado opuesto al que está la función que quieres derivar y poner las funciones que aparecen en su camino para hacer la derivada.

Ejemplo: ¿cuál es la derivada de la tangente? A partir de \(\operatorname{tg} x\), camino hacia la derecha. Hay una secante en el medio y otra a la derecha. Quedaría así:

\[(\operatorname{tg} x)^{\prime}=\sec x \sec x=(\sec x)^{2}\]

Y si te pido la derivada de la secante, basta caminar para hacia la izquierda. Hay una secante en medio y la tangente en la izquierda:

\[(\sec x)^{\prime}=\sec x \operatorname{tg} x\]

La misma cosa vale para la cotangente y la cosecante, basta caminar hacia los lados (atento con el signo negativo que hay en la cosecante del medio de la tabla). De derecha a izquierda tenemos dos cosecantes y un signo negativo, de izquierda a derecha tenemos una cosecante y una cotangente y un signo negativo:

\[(\operatorname{cotg} x)^{\prime}=-(\operatorname{cossec} x)^{2} \quad ; \quad(\operatorname{cossec} x)^{\prime}=-\operatorname{cossec} x \operatorname{cotg} x\]

Solo para recordar, aquí también podemos derivar más de una vez. O sea, la derivada segunda de \(f(x)=\cos x\) será

\[f^{\prime}(x)=-\operatorname{sen} x\]

\[f^{\prime \prime}(x)=-\cos x\]

¡Ahora ejercítate en el tema!