Derivada de Funciones Hiperbólicas

Recordando, es bueno que digamos cómo son definidas las funciones de \(\operatorname{senh}(x)\) y \(\cosh (x)\):

\[\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]

\[\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\]

Aun recordando, a partir de ellas definimos \(\tanh (x), \operatorname{coth}(x), \operatorname{sech}(x)\) e \(\operatorname{cossech}(x)\), con definiciones iguales a las de las trigonométricas.

Ejemplo: 

\[\operatorname{tgh}(x)=\frac{\operatorname{senh}(x)}{\cosh (x)} \quad ; \quad \operatorname{cossech}(x)=\frac{1}{\operatorname{senh}(x)}\]

Para derivarlas por primera vez, esta es la fórmula directa:

\[f(x)=\operatorname{senh}(x) ; f^{\prime}(x)=(\operatorname{senh}(x))^{\prime}=\cosh (x)\]

\[f(x)=\cosh (x) ; f^{\prime}(x)=(\cosh (x))^{\prime}=\operatorname{senh}(x)\]

Esas de arriba son las que más vas a necesitar. Mira, son iguales a las derivadas del seno y del coseno, excepto que en la derivada de \(\cosh (x)\) no aparece un signo negativo.

Las derivadas de las otras son:

\[f(x)=\tanh (x) ; f^{\prime}(x) =\operatorname{sech}^{2}(x)\]

\[f(x)=\operatorname{coth}(x) ; f^{\prime}(x)=-\operatorname{cossech}^{2}(x)\]

\[f(x)=\operatorname{sech}(x) ; f^{\prime}(x)= -\operatorname{sech}(x) \tanh (x)\]

\[f(x)=\operatorname{cossech}(x) ; f^{\prime}(x)=-\operatorname{coth}(x) \operatorname{cossech}(x)\]

Bastante parecido con las derivadas de las funciones trigonométricas normales, ¿verdad?

En realidad, es raro que aparezca una hiperbólica diferente de seno o coseno, (o como máximo la de la tangente), ¡entonces enfócate principalmente en aprenderte esas derivadas!